Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
наводит на мысль о существовании солитон-антисолитон-ных связанных
состояний в квантовой теории.
Далее, можно представить себе построение сектора суперотбора, содержащего
солитонный сектор, но без вакуумных состояний.
Такое построение сделано для некоторых моделей ф*,
(ф2)г и sin-Gordon2 ([Frohlich, 1976b], [Bellisard, Frohlich, Gidas,
1978] и [Gidas, 1979a]). Упомянем, что в размерности d = 2 построено поле
sin-Gordon в непрерывном пространстве [Frohlich, Seiler, 1976].
Рис. 20.3. (а) Солитонное классическое решение. (Ь) Двухсолитонное
приближенное решение для ф4-модели.
Рис. 20.4. Граничные условия, которые приводят к разделению фаз в
трехмерной модели Изинга при Т < (Т'^изншу
396 Гл. 20. Дальнейшие направления
Очень интересная задача, родственная проблемам, рассмотренным выше, - так
называемые переходы с размыванием. Рассмотрим трехмерную модель Изинга в
бесконечном объеме с граничными условиями + для х\ > 0 и - для Х\ < 0,
как показано на рис. 20.4. Известно, что при Т < (Ткр) Изинг2 <
(Тхр)изита существует отчетливая поверхность фаз. В случае же Т >
(Т'крЫзиш-з в пределе получается трансляционно-инвариантное состояние
(без раздела фаз). Интересно понять, происходит ли размывание (т. е.
исчезновение) поверхности раздела фаз при Г < (7кр) изинг3- Такой переход
мы и назвали переходом с размыванием (в оригинале: roughening phase
transition).
20.9 Калибровочные теории
Единственная калибровочная теория, которая рассматривалась в этой книге,
- это электродинамика. В калибровочных теориях имеются три вопроса,
изучаемых обычно с математической точки зрения: классическое и
квазиклассическое приближение, формулировка аксиом и построение
простейших непрерывных моделей в пределе, когда шаг решетки б стремится к
нулю.
В качестве действия в чистой калибровочной теории берется s4- = \\F\\2/i,
где величина
Fij - diAj - д/Ai -)- [Ai, А/]
принимает значения в алгебре Ли калибровочной группы G. Классические
евклидовы уравнения Янга - Миллса
? VVv = 0 = Е (<VVv + [А", F^]) имеют решения, для которых действие
конечно, - так называемые инстантоны [Белавин, Поляков, Шварц, Тюпкин,
1976]:
A^=1^gdvg-\ (20.9.1)
где g {х) = х01 + х • о, о - матрицы Паули. Инстантон обладает свойством
F = *F. Фактически построены все классические решения, удовлетворяющие
условию F = +*F и обладающие конечным действием ([Atiyah, Drinfeld,
Hitchin, Manin, 1978]). Инстантоны оказались полезны и для формального
понимания квазиклассиче-ского приближения в квантовых калибровочных
теориях; см. [Coleman, 1977, 1979]. Аксиомы для калибровочных полей
сформулированы в работе [Strocchi, 1978].
Строгое математическое построение квантовых калибровочных полей только
начинается. При этом полезна решеточная модель с обрезанием [Wilson,
1974]. Компонента связности А-с в направлении координаты г, принимающая
значения в алгебре Ли, заменяется в решеточной теории элементом группы
ехр (6Л,) = уь, сопоставленным каждому ребру Ь. Остервальдер и Зайлер
[1978] сформулировали и доказали аксиому о положительности при от-
20.9 Калибровочные теории 397
ражениях для этой модели с действием вида
(20.9.2)
где Ь\, ..., ЬА - ребра, ограничивающие элементарную ячейку решетки р.
Для анализа предельного перехода к бесконечному объему использовались
кластерные разложения. Для калибровочных теорий с группой G = Z2
справедлива теорема Ли - Янга [Dunlop, 1981]. Фазовые переходы в
калибровочной 22-теории исследовались в работе [Balian, Drouffe,
Itzykson, 1975]. По поводу калибровочных теорий с группой Zn см. [Greutz,
Jacobs, Rebbi, 1979], [Drouffe, 1980] и [Greutz, 1980а]. Неабелевы модели
рассмотрены в работах [Мигдал, 1976], [Kadanoff, 1977], ['t Hooft, 1978,
1980, 1981], [Glimm, Jaffe, 1979], [Greutz, 1980b], [Frohlich, 1980-
1981], [Itzykson, 1980], [Mack, 1980], [Wilson, 1980], [Seiler, 1981].
Предел решеточной модели при переходе к непрерывному пространству
изучался только в размерности d = 2. Соответствующая чистая калибровочная
теория тривиальна, а модель Хиггса с калибровочной группой U( 1) и
действием
& = ¦i IIFII2 + 41| ?>Ф ||2 + 1| (| Ф |2 - 1) ||2 (20.9.3)
построена в работах [Brydges, Frohlich, Seiler, 1979, 1980а,Ь]. В них
проверены аксиомы Остервальдера - Шрадера для калибровочно-инвариантных
величин, но никакой подробной информации о соответствующих спектрах до
сих пор нет.
Поскольку ультрафиолетовое поведение калибровочных моделей (особенно их
перенормируемость при d ^ 4) существенно зависит от калибровочной
инвариантности действия, то очень важно, чтобы ультрафиолетовое обрезание
ее сохраняло. В качестве альтернативы к ковариантному решеточному
обрезанию калибровочных моделей по Вильсону в работе [Singer, 1977]
предложена математическая конструкция, в которой использована обычная
калибровочная ковариантность в непрерывном пространстве и введена
калибровочно-ковариантная функция регуляризации ?. Такой подход
использовался при анализе грибовской неопределенности [Singer, 1978],
