Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
оценок и некоторых сходящихся подпоследовательностей конечных объемов)-в
работах [МсВгуап 1975а, Ь, с] и [Seiler, Simon, 1975а, b, 1976]. Доказана
также сходимость высокотемпературных кластерных разложений ([Magnen,
Seneor, 1976b], [Cooper, Rosen, 1977] и суммируемость по Борелю [Re-
nouard, 1977, 1979]). Для случая размерности d = 3 существование поля и
суммируемость по Борелю доказаны в работе [Magnen, Seneor, 1980].
В низкотемпературной области (сильные взаимодействия) псевдоскалярная
теория имеет фазовый переход. Доказательство этого факта основано на
низкотемпературных кластерных разложениях [Balaban, Gawedzki, 1980]. В
модели Юкавы можно вы-
888 Гл. 20. Дальнейшие направления
числить среднее по фермионам при фиксированных значениях бозонных полей.
Это приводит к эффективному четному взаимодействию У(ф). При X " 0
потенциал V имеет два минимума и происходит нарушение симметрии <р-*---
ср. Возможно, что скалярная модель Юкавы при низких температурах тоже
имеет фазовый переход. В области сходимости кластерных разложений были
проверены аксиомы Вайтмана. При произвольном значении константы связи
установлены лишь аксиомы Хаага - Кастлера; см. [Schrader, 1972] и
[McBryan, Park, 1975].
20.5 Низкотемпературные разложения и фазовые переходы
Кластерное разложение гл. 18 аналогично высокотемпературному разложению в
статистической физике, которое справедливо в однофазной области вдали от
критической точки. Это разложение сводит изучение теории в бесконечном
объеме к конечному объему и сходится, когда модель близка к гауссовой,
например в случае А<р4 + ф2-моделей при малых X.
Такие разложения можно делать и для многофазных моделей квантовых полей,
например для двумерной ?лр4- ф2-моделиД да 0. Это низкотемпературные
разложения, справедливые в области фазовых переходов. В этих разложениях
нужно внимательно следить за вероятностью флуктуаций около одного
основного состояния, с тем чтобы не произошел переход к конфигурации,
отвечающей другому основному состоянию. Иными словами, надо улучшить
соответствующие оценки вроде тех, которые приведены в § 16.2, чтобы
показать, что мала вероятность границы раздела фаз: Рг(Г)<ехр(-^-1/21Г |)
- Цель состоит в том, чтобы получить асимптотическое разложение функций
Швингера при X 1. Для 1ф4 - ф2-моделей эта программа реализована в работе
[Glimm, Jaffe, Spencer, 1976а]. Тем самым доказано экспоненциальное
убывание усеченных функций Швингера для чистой фазы. Эти методы применимы
также и для низкотемпературных разложений в статистической механике
[Schor, 1978b].
Анализ в многофазной области перенесен в квантовую теорию поля в работе
[Gawedzki, 1978а], где доказано сосуществование трех фаз в равновесии
(при некоторых X и о) в Xq>6 + сгф4-модели. Эта ситуация соответствует
тройной точке на рис. 4.1.
Низкотемпературные разложения использовались также и при изучении спектра
ф4-модели в случае нескольких фаз [Imbrie, 1980], [Koch, 1981].
Основную идею низкотемпературного разложения можно проиллюстрировать на
примере полиномиального взаимодействия У(ф) -^Ф4- 2ф2. Можно ввести
удобную перепараметризацию, разложив полином около каждого из двух его
минимумов ф =
20.5 Низкотемпературные разложения и фазовые переходы 389
= +Х~Х12. Имеем
V (ф) = К+ (Ч>+) = V+ + 4A'V+ + 2< - Я-1 =
= V- 0-) = ^4_ - 4Я1/21153_ + 2^ - Л-1.
Введя граничные условия ijj+ = О или г^_ = 0 при |л:J == оо, произведем
асимптотическое разложение по степеням Х1/2, начиная с 1Л|_(\|)+) или
У_(г|з_) и считая iJj+ или iJj_ новыми переменными вместо ф. Такое
разложение, подобно разложению (8.4.3), порождается интегрированием по
частям. Затем производится еще одно разложение с тем, чтобы показать, что
вероятность попасть в область ijj_ да 0 из области i|)+ да 0 равна О (ехр
(Я-1)). Это верно по крайней мере для малых X, как и при доказательстве
фазового перехода для этих моделей в § 16.2. Здесь, однако, надо выбрать
точные граничные условия, которые приводят к двум различным теориям поля
- двум "фазам" модели. Эти разложения определяются в работе [Glimm,
Jaffe, Spencer, 1976а], где установлена также и их сходимость. Они
обобщены на случай произвольной Р (ф) 2-модели, благодаря чему получено
полное описание фазовой диаграммы для этих моделей в области, где
действует приближение среднего поля [Imbrie, 1980b, 1981].
20.6 Дебаевское экранирование и преобразование sin-Gordon
•Статистическая физика классического кулонова газа приводит к изучению
определенной ниже большой статистической суммы ¦Sкулон. Рассмотрим d-
мерную решетку Zd(8,A) в конечном объеме А с фиксированным шагом 6. Мы
используем решетку для того, чтобы избежать особенностей кулонова
потенциала в нуле. Мы выбираем этот потенциал равным C(i,j) - -A-I(i,/),
где А обозначает решеточный лапласиан на решетке Zd(8,A). Зададим л-ча-
стичное каноническое распределение конфигураций зарядов qk = = ±е,
находящихся в вершинах ik, формулой
[^кан, п (я!) ехр Теперь определим
