Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
состоящей в том, что, вообще говоря, определение калибровочной меры d\x
вида 6.6.5 по теории возмущений может формально оказаться неполным. В
работе [Asorey, Mitter, 1981] положено начало определению меры d\i, не
использующему теории возмущений: доказано существование соответствующей
регу-ляризованной меры; при регуляризации используются степени ко-
вариантного пространственного лапласиана. См. также [Narasim-han,
Ramadas, 1979].
20.10 Модель Хиггса и сверхпроводимость
В 50-е годы В. Л. Гинзбург и Л. Д. Ландау для объяснения явления
сверхпроводимости в размерности d - 3 предложили рассмот-
398 Гл. 20. Дальнейшие направления
реть действие вида (20.9.3). В частности, введенное ими комплексное
скалярное поле Ф в современной терминологии интерпретируется как
шредингерова волновая функция электронной (куперо-вой) пары, движущейся в
магнитном поле F = rot А. Это поле известно также под названием
"параметра порядка" теории Гинзбурга- Ландау. Константа связи X С 1
соответствует сверхпроводникам первого рода, а X > 1 -сверхпроводникам
второго рода. В первых магнитное поле выталкивается (эффект Мейсснера).
Во вторых оно частично проникает в сверхпроводник, причем его величина
кратна основному (минимальному) потоку. Фактически существуют
классические стационарные решения уравнений движения, которые не зависят
от какой-нибудь одной пространственной координаты. Эти решения описывают
туннели магнитных потоков, причем в единицах, которые использованы в
(20.9.3), для
них при целом N верно соотношение ^ Fdx = 2яN. С микроскопической точки
зрения обоснованием теории Гинзбурга - Ландау служит теория Бардина -
Купера - Шриффера (БКШ); см. [Ние-bener, 1979], [Fetter, Walecka, 1971].
В окрестности туннеля поведение параметра порядка Ф оказывается вихревым
(с центром вихря на оси туннеля), в связи с чем туннельные потоки
называют еще "вихрями". Следовательно, Ф ^ 0 соответствует обычной
области (ненулевой магнитный поток), а ]Ф|~ 1-области сверхпроводимости
(выталкивание потока-- эффект Мейсснера). На самом деле треугольная
решетка туннелей в сверхпроводниках второго рода была предсказана
Абрикосовым и наблюдалась также экспериментально. Решения уравнений,
имеющие вихревой характер, возможны потому, что в действии (20.9.2)
требуется, чтобы |Ф|->-1 при |х|->-оо. Это приводит к интерпретации
вихревого числа как степени отображения Ф/1Ф | (со значениями в S1) вне
нулей функции Ф. На самом деле гладкие вихревые решения уравнений
существуют и в классическом случае характеризуются двумя масштабами длин:
глубиной проникновения магнитного поля (величиной, обратной массе фотона)
и корреляционной длиной вихря (величиной, обратной массе Хиггса), см.
[Jaffe, Taubes, 1980].
Изучалась также статистическая механика этих моделей в решеточном
приближении; см. [Israel, Nappi, 1979а, b], [Girth, 1980] и [Frohlich,
Spencer, 1981Ь]. Считается, что в случае размерности d - 2 (или при d = 3
в случае решения, не зависящего от одной координаты) для действия
(20.9.2) в квантовой теории поля <ф> = 0 (т. е. нет нарушения симметрии),
но проявляются оба классических масштаба длины (применительно к квантовым
поправкам); см. [Callen, Dashen, Gross, 1977] и [Coleman, 1977].
"Механизм Хиггса" не понят пока на математическом уровне. В размерности
d^3 в теории поля ожидается, что образование массы должно сопровождаться
нарушением симметрии, <Ф> Ф 0.
Литература')
1Abers, Е. and Lee, В. W. (1973). Gauge theories, Phys. Rept. 9C, 1-141.
Abraham, D. (1978). n-point functions for the rectangular Ising
ferromagnet, Comm. Math. Phys. 60, 205-213.
Agmon, S. (1965). Lectures on Elliptic Boundary Value Problems,
Princeton: Van Nostrand.
Aguilar, J. and Combes, J. M. (1971). A class of analytic perturbations
for one-body Schrodinger Hamiltonians, Comm. Math. Phys. 22, 269-279.
Aizenman, М., Goldstein, S. and Lebowitz, j. L. (1978). Conditional
equilibrium and the equivalence of microcanonical and grandcanonical
ensembles in the thermodynamic limit, Comm. Math. Phys. 62, 279-302.
Aizenman, M, and Simon, B. (1980). Local Ward identities and the decay of
correlations in ferromagnets, Comm. Math. Phys. 77; 137-144.
Albeverio, S., Gallavotti, G. and Hoegh-Krohn, R. (1979a). Some results
for exponential interaction in two or more dimensions, Comm. Math. Pliys.
70, 187-192.
Albeverio, S. and Hoegh-Krohn, R. (1973). Uniqueness of the physical
vacuum and the Wightman functions in the infinite volume limit for some
nonpolynomial interactions, Comm. Math. Phys. 30, 171-200.
Albeverio, S. and Hoegh-Krohn, R. (1979). Uniqueness and the global
Markov property for Euclidean fields.. The case of trigonometric
interactions, Comm. Math. Phys. 68, 95-128.
de Alfaro, V., Fubini, S. and Furlan, G.' (1976). A new classical
solution of the Yang-Mills field equations, Phys. Lett. В 65, 163-166.
Araki, H. (1960). Hamiltonian formalism and the canonical commutation
relations in quantum field theory, J. Math. Phys. 1, 492-504"
