Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 159

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 153 154 155 156 157 158 < 159 > 160 161 162 163 164 165 .. 187 >> Следующая

А -> со
обладает экспоненциальным кластерным свойством. Для любого е > 0 при
достаточно малых значениях $ и z (зависящих от е) имеет место оценка
| <Л?> - <Л><?> | < САСве~т*,
где d - расстояние между носителями А и В. Здесь пг = = (1 - г)тср. п =
(1 - е) (2zPe2)1/2.
20.7 В газе диполей нет экранирования
Рассмотрим газ диполей с кулоновым взаимодействием. Как и в предыдущем
параграфе, для того чтобы избежать особенностей потенциала в нуле, будем
изучать d-мерный решеточный газ. Решеточный диполь D - это пара зарядов
(qi,qj), одинаковых по величине, но противоположных по знаку и
расположенных в соседних узлах решетки (i,j). Пусть D обозначает вектор
длины 26е, направленный от отрицательного к положительному заряду. Этот
вектор есть не что иное, как дипольный момент. Будем помечать D = Df,
ребром решетки Ь, соединяющим вершины (/,/).
Энергия взаимодействия пары диполей D&, Db,, отвечающих ребрам Ь, Ь',
имеет вид
d
(Db,VDb')= Е Db, aVoP (b, b') Db', p. (20.7.1)
a, b - 1
Здесь Va$(b,b') есть d X d-матрица, определяемая парным кулоновым
взаимодействием между зарядами, входящими в диполи,
20.7 В газе диполей нет экранирования 393
исключая взаимодействия внутри диполя. Асимптотически при удаленных друг
от друга на вектор гьь- = г большой длины г ребрах b, Ь' это
взаимодействие имеет вид
\(d-2)Q(d- 1 Г1 (б -(d- 1)
V'*bb')~\ , rr \ 'd>2 (20J-2)
I /'о \ -I -2 1 о 6 P s А ПрИ и J,f
^(2л) r ^2 r2 6apJ ПрИ d - 2.
Этот потенциал взаимодействия диполей не является абсолютно
интегрируемым, но его среднее по сфере равно нулю.
Большая статистическая сумма определяется формулой
оо
Ндш. = I Z Цкан(20.7.3)
п-0
Dk=± ft = l, 2 п
где Dk = ± обозначает сумму по двум направлениям в диполе, отвечающем
ребру bk, и
И-кан,
, п - (л!)-1 ехр Г y 2 (Dv (20.7.4)
Ьф1
i<ft,
Парная корреляционная функция диполей определяется формулой
оо
(D*Db'> = lim Здип ? znbnd Z D"Db'H"H. (20.7.5)
Л1'Zd *=° bk
Dk=± ft = l, 2, ..., n
В противоположность случаю кулонова газа мы не ожидаем, что в разреженном
газе диполей возникнет экранирование. Повторив рассуждения § 20.6, можно
показать, что
"'дип ^V=2z cos I уф |)
= ^ ехр Г2 z :cos(pl/2?| Vф fy):"! Ар.
L /ел J
(20.7.6)
Здесь по сравнению с формулой (20.6.5) <р2 заменено на (Уф)2.
Представление (20.7.6) показывает, что при |z|<Cl разложение косинуса
приводит к квадратичному члену
- 2zei
Но теперь этот член дает уже не массу, а вклад в коэффициент (1 + 2ге2Р)
при кинетической энергии. Приближение среднего поля
394 Гл. 20. Дальнейшие направления
по формуле (20.7.7) предсказывает, что корреляционная функция (20.7.5)
при малых z, е2|3 ведет себя следующим образом:
<DftDft,> ~ е(2, e2P)-1<Dft, VDb.) + 0(r~6). (20.7.8)
Здесь диэлектрическая проницаемость е имеет вид e=l+ze2p + X (pe2)m.
n+m>l
На языке перенормировок теории поля е = Z-1, где Z - константа
перенормировки величины поля. Ввиду того, что дипольные силы приводят к
эффективному дальнодействию, применение здесь кластерной техники
значительно затруднено по сравнению со случаем разреженного кулонова
газа. Для изучения свободной энергии в дипольном газе с успехом
применялись методы группировки спинов в блоки [Glimm, Jaffe, 1977Ь].
Отсутствие экранирования в-этой модели установлено в работе [Park, 1979],
[Frohlich, Spencer, 1981а]. К соответствующему (Уф)4-взаимодействию
применялись методы, связанные с ренормгруппой [Gawgdzki, Kupiainen,
1980]; см. также [Bricmont, Fontaine, Lebowitz, Spencer, 1980, 1981],.
[Bricmont, Fontaine, Lebowitz, Lieb, Spencer, 1981].
Несмотря на отсутствие экранирования можно ожидать, что в газе диполей
при d^2 происходит фазовый переход из неупорядоченной фазы в
конденсированную (рис. 20.2). Наиболее тру-
4-
4, ¦
(а) (Ь)
Рис. 20.2. (а) Неупорядоченные диполи. (Ь) Конденсированная фаза диполей.
ден для изучения случай d - 2, так как с математической точки зрения эти
переходы относятся к так называемым переходам с размыванием (см. § 20.8)
и переходам типа модели ротаторов (§ 5.5). Очень интересно было бы
установить их существование (см. [Frohlich, Spencer, 1981b]).
20.8 Солитоны
Излагая и анализируя в этой книге приближение среднего поля, мы в
основном рассматривали разложения в окрестности конфигураций ф = const,
которые являются абсолютными минимумами действия а. Классические
уравнения поля могут иметь и другие стационарные решения. Простой пример
имеется в размерности d = 2 у ф4-модели со взаимодействием Х(ф2 - а)2.
При этом ста*
20.8 Солитоны 395
ционарное решение
ф = ±Уа th((2Ла)1/2(20.8.1) есть либо солитон, либо антисолитон. Это
решение вещественно только при а ^ 0. В этом случае считается, что
солитон может повлиять на спектр частиц. Хотя и предполагается, что в
пространстве Ж солитонные состояния невозможны (так как они связывают два
разных вакуумных состояния в различных представлениях), считается все же,
что солитонные пары (близкие к классическим решениям) могут породить
частицу в двухфазной области. Классическое состояние (рис. 20.3(b))
Предыдущая << 1 .. 153 154 155 156 157 158 < 159 > 160 161 162 163 164 165 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed