Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
Число молей, преобразующихся в реакции в единицу времени на единицу объема, дает нам источник
a [MY] = VyMy^, (1.24) ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА 23
где скорость химической реакции*). Конечно, если компонента у участвует в г различных химических реакциях, то источник (1-24) приобретает вид
a [MY] = S VvpAVp (Р = 1. 2.....г), (1.25)
р
а уравнение баланса (1.9) записывается в форме:
2 vYpaVP = + S (PYaW+ Pvv')- (1-26)
P і
Суммируя уравнения для всех компонент Y=U 2, ..., п, получим закон сохранения полной массы (1.10). Действительно, из (1.23)
S S VypAVp = 2 "р (2 VvpAIv) = 0 = а [М].
YP P \ Y /
Для упрощения обозначений мы будем использовать повторяющийся нижний индекс «/» для суммирования по всем пространственным координатам х, у, z, нижний индекс «'/»— для частной ПРОИЗВОДНОЙ d/dXj ПО СООТВеТСТВуЮЩеЙ Координате Xj и символ
dt — для производной по времени djdt. В этих обозначениях уравнения баланса (1.12) и (1.26) очень компактны
0 = ? + (PVy)7 (1.27)
и
S VypMyOTp = ^Py + [pYAY/ + pvV/]T (1.28)
1.3. Сохранение импульса и уравнения движения
Используя обозначения, приведенные выше, уравнения движения сплошной среды можно записать (см., например, [100]) в следующем виде:
d\,
P-Or^pFi-(Pil)4, (1.29)
где производная dvi/dt компоненты скорости взята в соответствии с определением" (1.16); Fi — ї-ая компонента внешней силы на единицу массы и Рц — компонента тензора давления. Из (1.16) следует, что уравнение (129) нелинейно по скоростям, что является характерной особенностью гидродинамики. В линейной гидродинамике в принципе нельзя наблюдать переход от ламинарного течения к турбулентному, так как изучение гидродинамической неустойчивости основано на нелинейности.
*) В формуле (1.24) скорость реакции выражается обычно в молях в единицу времени на единицу объема. Чтобы исключить множитель My, можно вместо и/ ввести скорость производства массы. 24
ГЛАВА 1
Уравнение (1.29) можно рассматривать как постулат, на котором основана классическая механика сплошных сред. Физический смысл этого уравнения станет гораздо яснее, если его записать в виде уравнения баланса. Подставляя (1.17) в (1.29), получим
OtPVi = PFi -[Pil + PWiViIr (1-30)
Сравнение этого уравнения с общим уравнением баланса (1.9) дает для источника, соответствующего і-й компоненте полного импульса Q, выражение
О [Qil = P^, (1.31)
которого и следовало ожидать. Отсюда следует, что полный импульс сохраняется в отсутствие внешних сил.
С другой стороны, поток импульса содержит как конвективный (pvi)v, так и кондуктивный член, соответствующий тензору давления. Тензор давления равен полному потоку импульса, вычисленному в системе центра масс. Это вполне согласуется с микроскопической интерпретацией тензора давления [79, 119, 141].
Принятые обозначения и разделение на источник и поток несколько отличаются от определений, которые используются в теории сплошных сред. Однако сохраняющиеся величины, введенные нами, вполне согласуются с микроскопическими свойствами столк-новительных инвариантов, рассматриваемых в кинетической теории газов [30].
Чтобы избежать разночтения, проиллюстрируем это различие для случая сохранения полного импульса. В классической гидродинамике сохраняющийся импульс часто определяется как импульс, который не изменяется вдоль макроскопической траектории [уравнение (1.16)], т. е.
Очевидно, это противоречит свойствам сохранения, связанным с исчезновением источника во втором соотношении (1.13) [см.
(1.31)].
Как правило, тензор Рц можно разложить на упругую Peij и диссипативную (вызванную, например, вязкостью) части:
pU = Pb+ Ptr (1-32)
Для жидкости упругий тензор сводится к скалярному гидростатическому давлению р, и уравнение (1.32) упрощается:
[0 і ф /
Piі = Pblі+ РіГ, ot/ = { j /==/ (1.33)
Поэтому мы ограничимся случаем симметричного тензора давления (Pij = Pji). При термодинамическом равновесии вклад в
(1.32) дает только упругий член р?г ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА 25
Отметим также, что для системы из нескольких компонент, на каждую из которых действует сила Fy, полная сила в уравнении (1.29) определяется следующим соотношением:
PF=IiPyFr (1.34)
Y
Теперь рассмотрим уравнение баланса для энергии.
1.4. Сохранение энергии
Полная энергия системы U, вообще говоря, включает кинетическую (макроскопическую) энергию ?km, потенциальную энергию Qy- соответствующую внешним силам Fy, и внутреннюю энергию Е. Таким образом,
U = Ekia +IQy + Е, (1.35)
Y
где Qy — потенциальная энергия компоненты у, на которую действует сила Fy.
Для того чтобы вывести уравнение баланса кинетической энергии в системе центра масс, умножим обе части уравнения (1.29) на vj и подставим в него (1.17):
PffVi + Vry = <VjT- + [ Vi + PT-vJ7 • (1-36)
Как и раньше, повторяющиеся нижние индексы «і» и «/» означают суммирование, a v(-/ —производную jp~-
Источник кинетической энергии дается выражением
^kiJ = P^+ Vr/- (1.37)
Оно содержит два члена: один относится к работе внешних сил в единицу времени на единицу объема, другой связан с тензором давления.
