Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
б^-'б, (ре) - 2 62 GivT-1) б,ру=
v
=oj-% (ре) - 2 б. Gi/"1) б2рг (2.66)
y
Здесь бі означает один тип изменения, например приращение б, употреблявшееся до сих пор, а б2 — другой тип изменения, которое может быть или локальной производной по времени, или любой компонентой градиента. Равенство (2.66) легко доказать, если разложить біТ~1 и 62(^^-1) п0 степеням 62(ре) и 62pY и учесть (2.60):
dSl = -Ibnl. JjOtVr"') _ gOv7"') (2 67)
opY д(ре) ' opv, dpY ' \ ' > ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ И УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНТРОПИИ 41
Теперь, примем в соотношении (2.66), что
S1=S и б 2=-~dxh
тогда
Г7'б (ре) - 2 (HyT-1Il 6pv = б T1 (Pe)7 - 2 б^Т') Pvt (2.68)
Умножая обе части уравнения (2.68) на компоненту aj произвольного вектора а и используя снова формулу Гиббса — Дюгема (2.47) в виде
ап [peoT~y + б(рг-')- 2 PZGxvT1)]=О,
получим еще одно полезное тождество UiTTi'б(ре) -Iai(ixyT-1),j6py =
= (^pe)7Sr"1 + апЬ(рТ~')- 2 (a/Py)-/o(?YT-'). (2.69)
В дальнейших приложениях (2.69) вектор а будет барицентрической скоростью V или ее приращением ov. Как было указано выше, величины второго порядка, вычисленные в этом разделе, играют существенную роль в теории устойчивости равновесных и неравновесных состояний.
2.6. Использование комплексных переменных
В задачах, которые мы будем рассматривать, основные приращения б (ре) и 6pv соответствуют возмущениям, изменяющимся во времени. Как правило, эта временная зависимость определяется дифференциальными уравнениями в частных производных, вытекающими из уравнений баланса для приращений (гл. 1) и феноменологических законов, задающих потоки (гл. 3); она обсуждается в гл. 7.
Однако решение уравнений для возмущений получается, вообще говоря, в комплексной форме. Например, в самом простом случае одного нормального колебания около стационарного состояния временная зависимость определяется комплексной величиной ехр со/, где
(О == (Or -f /COi, (2.70)
— комплексная частота, мнимая часть которой описывает колебания. А так как коэффициенты уравнения для возмущений действительны, то комплексно-сопряженное от решения также является решением.
Соответствующие комплексные величины приращений других переменных, рассматриваемых в последующем изложении, определяются теми же соотношениями, что и действительные величины, 42 ГЛАВА 1
Например, комплексная величина 8s по-прежнему определяется формулой Гиббса (2.60).
Напомним также, что для комплексного приращения бср действительной переменной ф (например, е, v, р, Ny, ...) будет*)
(бф)г-|(бф +бср*), (2.71)
где индекс «г» указывает действительную часть. Следовательно:
[б (ps)]r = у [б (ps) +б (ps)']. (2.72)
После соответствующей замены в уравнении (2.60) получим
[б2 (PS)Ir == [б2 (ps) + б2 (ps)* + 262т (ps)], (2.73)
где &т (ps) — второй смешанный дифференциал: Ь2т (ps) = бГ-'б (ре)* + 67"1? (ре) -
- Yi [б(^Г-')бр; + б(^Г-Тбр,]|. (2.74) у J
Используя уравнения (2.71), (2.58) и (2.62), получим еще одно выражение для б2т (ps)
62m(ps) = -f [^-6Т6Г + -?-(Мдг Wn +
(2.75)
V V
+ IS (MyMy' + м;му.)
У
Этот смешанный второй дифференциал обладает рядом полезных свойств. Во-первых, заметим, что 6m (ps) — вещественная квадратичная форма. Во-вторых, какой бы ни была [б2(ps)]г — положительно или отрицательно определенной квадратичной формой — такой же будет И o'm (ps). Более ТОГО, 6m (ps) сводится K [O2(ps)]r в случае действительных приращений.
Выражения (2.74) и (2.75) дают правило построения b2m (ps):
Mo?-»y(Mo?* + o?M*). (2.76)
Читатель легко может проверить это правило для других смешанных дифференциалов второго порядка, например для производной по времени от 6m (ps). Отметим также, что иногда бывает полезно равенство (2.66) специального вида:
67"1? (ре) - 2 oG^"1)* opv = o7*_1o (ре)* - 2 б(^Г-')бр;. (2.77)
*) Для упрощения комплексно-сопряженные величины обозначаются 6ф* рместо (бср)*. ГЛАВА
- З -
ЛИНЕЙНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ
3.1. Потоки и силы
В этой главе будет дан краткий обзор термодинамики необратимых процессов, близких к равновесию. Поскольку можно считать, что в этой области соотношения между потоками (или скоростями, токами, световыми потоками) Ja и силами (термодинамическими или обобщенными) Xa линейны, этот раздел термодинамики также можно назвать линейной термодинамикой необратимых процессов. Мы не будем вдаваться в детали, так как существует множество книг, посвященных этому вопросу (например [36, 151]).
Обратимся к общему выражению (2.23) для производства энтропии. При термодинамическом равновесия для всех необратимых процессов одновременно справедливо, что
Ja = O-, Xa = O. (3.1)
Поэтому совершенно естественно предположить, что по крайней мере при малом отклонении от равновесия соотношения между потоками и силами будут линейными и однородными. Эмпирические законы типа закона Фурье для теплового потока или закона Фика для диффузии описываются такой схемой. Линейные законы подобного рода мы будем называть феноменологическими соотношениями и записывать следующим образом:
