Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА 1
Таким образом, вводится плотность потока /[/], связанного с величиной /; /„[/] —проекция этого вектора на внутреннюю нормаль к поверхности (рис. 1.1). Для простоты в дальнейшем изложении мы будем использовать вместо плотности потока термин «поток». Вообще говоря, источник и поток в (1.3) могут быть как
положительными, так и отрицательными величинами.
Используя уравнения (1.4) и (1.5), получим так называемое уравнение баланса, соответствующее экстенсивной переменной /,
д!
Рис. 1.1. dt
J a[I]dV + J }n[I]dQ. (1.6)
Таким образом, изменение / во времени может быть представлено двумя членами, из которых один является объемным, а другой—поверхностным интегралами. Для векторной экстенсивной переменной I(t), например импульса системы, уравнение баланса может быть записано в том же виде (1.6) для каждой из компонент lx, Iy, Iz в отдельности.
Иногда бывает полезно записать уравнение баланса [(1.3) или (1.6)] символически следующим образом:
dl — dj + dj, (1.7)
где d\I соответствует источнику, a deI — потоку. Можно записать также
dj^dl+ {-del). (1.8)
Из последней записи видно, что источник d\l определяет с одной стороны изменение во времени величины /,ас другой — поток ог системы к внешней среде (—deI). При этом следует подчеркнуть, что только dl является полным дифференциалом переменных состояния.
Равенство (1.6) должно быть справедливо всюду в объеме V, поэтому из формулы Грина непосредственно следует уравнение баланса в локальной форме*)
-If = or[/]— div/[/l. (1.9)
Такая формулировка удобна тем, что все законы сохранения выражаются единым образом — источник, соответствующий сохраняющейся величине, в уравнении исчезает. Например, если I обозначает полную массу системы I = M, а / — плотность массы р
*) Здесь использовано стандартное обозначение:
.. . dIx , dj д]г
dLV / = —у:--H -Zjl + -T-,
д X ду дг ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА 21
[см. (1 -2)], f = р, то закон сохранения массы выражается соотношением
а[М] = 0. (1.10)
Изменение плотности р во времени с точностью до знака равно дивергенции потока массы; более того, поток массы имеет вид
/[MJ = PV, (1.11)
где V — скорость переноса вещества. Из уравнений (1.10) и (1.11) вытекает классическое уравнение непрерывности
-§Є_-Miv pV = 0. (1.12)
Сохранение полной энергии U (первое начало термодинамики) и полного импульса Q (в отсутствие внешних сил) может быть выражено аналогично
а [?/]»= 0, a [Q] = 0. (1.13)
Как будет показано в гл. 2, источник энтропии играет особую роль, так как второй принцип термодинамики постулирует следующее неравенство:
a[S]> 0. (1.14)
Это означает, что энтропия не сохраняется, а возрастает благодаря необратимым процессам, которые включены в источник, и только для обратимых процессов ее изменение полностью зависит от обмена с внешней средой.
Вернемся к плотности потока /[/] в уравнении баланса (1.9). Вообще говоря, существует не только конвективный поток типа (1.11), но и кондуктивный поток /cond, возникающий даже в покоящейся системе. Следовательно,
/ = /cond + /'conv = /cond + /V. (1.15)
Например, тепловой поток W является кондуктивным потоком внутренней энергии (ср. с разд. 1.4) (ниже будут рассмотрены Другие примеры).
Во многих случаях полезно ввести так называемую субстанциональную, или гидродинамическую, производную
w-тг + Ътъ7- <М6>
1 '
Тогда ДЛЯ любой интенсивной переменной ф (х, у, Z, t) S ф (X1, Х2, *3, 0 уравнение непрерывности может быть записано в виде
+2^=iH?1+2IS7M- (1.17)
Iі І 1 22
ГЛАВА 1
Применим этот формализм к наиболее важным величинам, характеризующим сплошную среду. Для этого воспользуемся методом, предложенным одним из авторов [141] несколько лет назад, но при этом ограничимся минимумом деталей, поскольку дополнительную информацию можно найти в других книгах (например, [36]).
1.2. Сохранение массы
Рассмотрим сплошную среду, состоящую из п компонент у(у= 1, 2, ..., п). Макроскопическую скорость компоненты у обозначим vY. Массовая концентрация Ny и парциальная плотность Py компоненты у определяются соотношениями (1.2)
"v-^-. SivV=1; 0-18)
V
Py = PATy, I1 PY = P- (1.19)
V
Скорость центра масс (которую мы будем также называть барицентрической скоростью) и диффузионный поток Ay компоненты у определяются равенствами
PV=UPyVy, 4 (1.20)
V
Ay = Vy-V. (1.21)
Из (1.19) и (1.20) следует тождество
HpA = O. (1.22)
у
Поток /[MY] = pYvY в уравнении баланса (1.9) для компоненты у может быть, таким образом, расчленен на кондуктивный (здесь диффузионный) pYAY и конвективный pYv потоки. Далее, если компонента у участвует в каких-то химических реакциях, необходимо ввести источник. Запишем стехиометрическое уравнение для химической реакции
O = HvyMy. (1.23)
V
Коэффициент Vy соответствует компоненте Y с молярной массой My; он положителен, если компонента производится в химической реакции, отрицателен в противоположном случае и равен нулю, если у не принимает участия в реакции.
