Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
Источник потенциальной энергии Qy соответствует работе в единицу времени на единицу объема, совершаемой силой Fy, которая действует на компоненту у в направлении скорости vY
a[Qy] =-PyFyiVyi. (1.38)
Член, описывающий поток, соответствует конвективному переносу потенциальной энергии в том же направлении. Следовательно, обозначая через coY потенциальную энергию единицы массы компоненты у, можно записать уравнение баланса для Qy
— PyFyIVyi = dtpy(x>y + [PyCoyVy/],;. (1.39)
Здесь предполагается, что потенциальная энергия связана с дви->кУЩейся массой. Чтобы учесть другие виды изменения энергии,26 ГЛАВА 1
например излучение, необходимо ввести в уравнение баланса (1.13) дополнительный кондуктивный поток (вектор Пойнтинга электромагнитного поля), но в данной книге такие вопросы рассматриваться не будут.
Запишем теперь уравнение баланса для внутренней энергии. Источник внутренней энергии должен быть выбран таким образом, чтобы выполнялся закон сохранения полной энергии (1.13). Таким образом, получаем уравнение
о[Е] = —а [?kln] — Sa^=SVArViT (1-40)
Работа диффузионных потоков против внешних сил трансформируется во внутреннюю энергию.
Как и прежде, поток внутренней энергии можно разделить на конвективный pev и кондуктивный. Как раз кондуктивный поток и является по определению тепловым потоком W, следовательно,
j [?] = pev + Wr, (1.41)
где е — плотность энергии на единицу массы.
Это определение вполне согласуется с микроскопическим определением теплового потока. Для j[E] можно ввести другую эквивалентную форму [36, 141], но здесь она не будет использована.
Из (1.40) и (1.41) получим уравнение баланса для внутренней энергии в виде
S VyaVI- Vr/= dt (Pe) + Wi + Pev/]7- (1-42)
Во многих задачах внешняя сила одинакова для всех компонент у, как, например, в случае гравитационного поля, когда
Fy — F = g. (1.43)
Тогда первый член в (1.42) исчезает, как следует из (1.22), и уравнение баланса (1.42) становится таким же, как и для одно-компонентной жидкости. Если еще заменить Pii равновесным давлением р [см. (1.33)], то получим
- PVn = dt (ре) + [W1 + PevlIj (1 -44) или, используя (1.16) и (1.17),
-Pt = jItjT^W, (1.45)
где O = P1.
Предполагая далее, что давление однородно, и интегрируя по всей системе, получим
dQ = dE + pdV, (1.46)ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ И УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНТРОПИИ 27
где dQ — количество тепла, получаемое системой за время dt. Выражение (1.46) соответствует обычной формулировке первого начала термодинамики, которое приводится во всех учебных пособиях.
И, наконец, рассмотрим уравнение баланса для полной энергии U- Суммируя (1.36), (1.39) и (1.42), получим 1
О =<5,
Y pv2 + ре + 2 P
VcdY
+
+
W1 + P11V1 + (y V2 + е) PV/ + 2 PYvYZcdY
(1.47)
Это соотношение выражает закон сохранения полной энергии в локальной форме. Как и раньше, если силы, действующие на единицу массы, одинаковы для всех компонент у [например, (1.43)], то уравнение баланса (1.47) можно упростить:
О = dt [р (у V2 + е + со)] + [W1 + PiiVl + (у V2 + в + со) pv,] (1.48)
и оно будет совпадать с уравнением для одной компоненты.
Уравнения баланса для массы, импульса и энергии, выведенные в этой главе, неоднократно будут использованы в дальнейшем изложении. В гл. 2 с их помощью будут получены точные выражения для потока и производства энтропии, которые входят в уравнение баланса энтропии. В гл. 7 они играют существенную роль при выяснении условий устойчивости равновесных и неравновесных процессов. Наконец, в гл. 9 и 10 эти уравнения понадобятся для формулировки критерия эволюции и введения понятия локального потенциала.
ГЛАВА
- 2 -
ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ И УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНТРОПИИ
2.1. Второе начало термодинамики
Сформулируем второе начало термодинамики феноменологически. Для этого постулируем существование функции состояния S, называемой энтропией, которая обладает следующими свойствами.
1. Энтропия является экстенсивной величиной. Если система состоит из нескольких частей, полная энтропия равна сумме энтропии этих частей. Изменение энтропии dS, следовательно, распадается на производство энтропии diS, вызываемое изменениями28
ГЛАВА 1
внутри системы, и поток энтропии deS, возникающий за счет взаимодействия с внешней средой. Поэтому в соответствии с общим соотношением (1.7) имеем
dS = diS + deS. (2.1)
2. Производство энтропии diS, связанное с изменениями внутри системы, всегда неотрицательно
0. (2.2)
Понятие «энтропия» вводится специально для того, чтобы ясно различать два типа процессов: обратимые и необратимые. Производство энтропии diS исчезает, когда в системе протекают только обратимые процессы, и всегда положительно во всех остальных случаях. Следовательно,
^1S = O (для обратимых процессов) (2.3)
к
dfi > 0 (для необратимых процессов) _ (2.4)
В данной главе (для полноты изложения) будут даны точные выражения для потока deS и производства dtS энтропии и выведены основные термодинамические соотношения, связанные с формулой Гиббса. Большинство этих соотношений хорошо известно; они приведены во многих учебных пособиях (например, [64, 143]). Здесь более подробно будут изучены вторые дифференциалы энтропии, так как эти величины имеют большое значение в общей теории устойчивости, развитой в последующих главах.