Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
kvTe > (со, ve), kvTi » (со, Vi), (12.43)
где Ve — число соударений электронов и Vi — число соударений ионов (учитывать нужно все существенные соударения данной частицы с другими; запись /гип > (©, v,-) означает, что kvTi со и kvn » vi и т. п.). Тогда
Bfr=I +«VV^, j
Y^ 4а / в П- 03 ^ 1 ' (12'44)
V k vTa \ kvTa ) krI
Здесь
Vr' 1
rD )
к*=-а=е>1 <12-45>
и, при Te = Ti = T, г о — дебаевский радиус (12.14); в более общем случае вводятся радиусы
* 4At;<rva ра
При Te ~ Ti (изотермическая плазма) и Ni = Ne = N
*) Здесь использованы обозначения vT = Vje = ^хТ/т и Vfi = л/хТ/М где M—масса ионов (считаем, что имеются ионы одного сорта). Если Te Ф ф Ti, то нужно писать vT = ySjv-TiJma > a = e,i и т. п. Членами порядка m/M пренебрегаем, и поэтому, например, в (12.41) и (12.42) вклад ионов явно не фигурирует (в выражении для v3(j>(i> соударения с ионами нужно, конечно, принимать во внимание).
<296 Рассмотрим некоторый «внешний» покоящийся заряд с плотностью pext = eS(r), внесенный в плазму. Потенциал ср г эля заряда определяется уравнениями
(12.48)
div D = 4яе6 (г), E = Е; = — Уф, I D (со, k) = е, (со, к) E (со, к), J
откуда в случае (12.44) следуют соотношения*)
ф (°' k) = кч% к) • V W = W- S V (°' к) exP (/кг)dk =
е ¦ ехр (— г (г А 1
=-і-е,(0, к) =1+-22-. (12.49)
г к rzD
Каждый ион и электрон в плазме можно в известных пределах считать внешним по отношению ко всем другим частицам и, следовательно, формула (12.49) отражает и тот факт, что кулоновское поле каждой частицы в плазме экранируется другими частицами. Такое экранирование, как уже указывалось, существенно при рассмотрении соударений. Поэтому вопрос об учете экранирования частиц плазмы друг другом сводится к нахождению выражения для интеграла соударений Sp и последующему решению кинетического уравнения (см. [164, 171]).
На примере предельного случая (12.43) или, грубо говоря, в статическом пределе со-v0 особенно ясно видна роль пространственной дисперсии в плазме. Если бы мы воспользовались в этом случае формулой элементарной теории е=1—со2/«)2, то пришли бы просто к результату е-*-— оо, ?/->0, между тем как в действительности поле проникает в плазму на расстояния порядка rD.
Другая не менее важная особенность плазмы как среды с пространственной дисперсией — появление продольных волн. К вопросу об этих и других нормальных волнах, могущих распространяться в изотропной плазме, сейчас и перейдем.
Общее дисперсионное уравнение, определяющее связь между со и к в волнах, распространяющихся в среде (в отсутствие внешних зарядов и токов), как мы видели в гл. 11, имеет вид
^eiy (со, к) — &2бг/ + k{kj I = 0. (11.24)
*) Фурье-компоненты потенциала ф чаще всего вводят (нормируют) так, как это сделано в (12.49). Для других величин широко используется, в частности в настоящей книге, и другая нормировка, при которой множитель типа (2я)_3 включается в фурье-компоненты (в случае потенциала это отвечает
определению ф (г) = ^ ф (0, k) eikrdr в силу чего компоненты ф(0, к) отличаются множителем (2я)-3 от (12.49)). Сказанное необходимо, конечно, всегда помнить при вычислениях. В изотропной среде, когда вц определяется выражением (12.36), дисперсионное уравнение распадается на уравнение для продольных волн (при со Ф 0)
B1 (со, k) = 0 (12.50)
и уравнение для поперечных волн
fe2 = -^-/12 (со) Btr (со, к). (12.51)
Здесь Я(со) S Я(Г(со) — комплексный показатель преломления для поперечных волн. В изотропной среде в силу вырождения двум возможным независимым состояниям поляризации поперечных волн отвечает одно и то же значение fit. (со); вместе с тем уравнение (12.51) может в принципе иметь несколько корней ntr,j{со). Нужно помнить, однако, что связь между k и Fi представляет собой просто определение величины п
k (со) = п (со) = ~ (п + ік), смысл которого ясен из выражения для поля в плоской волне E = E0 ехр {і (kz — со/)} = E0 ехр I /со z — / j j = = E0 ехр I--И2 + /со (jZ — /) j,
где направление распространения волны выбрано за ось г.
Разрешая уравнение (12.50) относительно k, мы также можем записать это соотношение в виде k (со) = ~ Fit (со), где
Я; (со) —показатель преломления для продольной волны или продольных волн, поскольку уравнение (12.50) может в принципе при данной частоте со иметь несколько корней.
Проще всего к результатам (12.50) и (12.51) прийти не непосредственно из уравнения (11.24) или (11.27), а отправляясь от исходного волнового уравнения (11.22), (11.23). Тогда, учитывая (12.36), для продольного поля Ei--=Ekfk сразу же получаем уравнение (при со ф 0)
D = B1 (со, k) Et = 0, (12.52)
откуда непосредственно следует условие (12.50)—иначе нетривиальные решения для Ei отсутствуют. Аналогично для поперечного поля
-J- D = -J Btr (со, k) Etr = k?Etr, (12.53)
что приводит к условию (12.51).
<298 При пренебрежении пространственной дисперсией выражение (12.51) приобретает хорошо знакомый вид (см. (12.39))
к2 = п2 (со) = у.2 + 2 in*) = - J є (со), (12.54)
