Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
div E = 4лр = 4пс (N - N1) (12.1)
и учитывающих, что при наличии поля в плазме возникает ток, в большинстве случаев достаточно быстро приводящий к исчезновению объемного заряда (это не относится к пространственному заряду вблизи внесенных в плазму внешних зарядов или к полям вблизи отдельных зарядов, составляющих плазму, см. ниже).
<283 Плотность тока в изотропной плазме равна 1 = еу (г -г('-)) = -'ю(Р-Е)=і -/(OP =
' /_/ \ п ii j — 4л JnpoB
л-1
= (12.2)
_j
Здесь Jnpoe = CFE — плотность тока проводимости, P = —^—Е —
поляризация, е = г' + t'e" = г' + г'4лсг/сй — комплексная проницаемость (e' = Ree, а — проводимость) и электрическое поле E считается монохроматическим (Е = E0 ехр (—/со/)). Выражение (12.2) записано таким образом, чтобы пояснить встречающиеся в литературе обозначения*). Квазинейтральность в (12.2) учтена лишь при суммировании по числу частиц (в (12.2), очевидно, гп — радиус-вектор п-го электрона и г^ — радиус-вектор п-го иона).
В отсутствие внешнего магнитного поля H0, при неучете соударений и локальном рассмотрении (т. е. при пренебрежении пространственной дисперсией, когда поле E можно считать однородным) уравнения движения для электронов и ионов имеют вид
mr„ = eEo ехр (—/со/), Мг(п = — еЕо ехр (— /со/), (12.3)
где т и M — масса электронов и ионов соответственно. Отсюда, например,
г —--г(о) /л
" ш®2 ^ л к''
где г^ (/) — радиус-вектор электрона в отсутствие поля. В силу (12.2) и (12.3), как легко видеть, е' — 1 „ е2
4я со2
а члены с и гЦ- 0) выпадают, поскольку без поля по предположению P = O. Вклад от ионов является лишь поправкой порядка т/М <С IO-3 и будет опущен. Таким образом,
т(й2 со2
= 1-3,18- IO9-^-= 1-8,06- IO7^-, (12.4) где COpe = COp= <y/4ne2N/tn — электронная плазменная частота,
*) Дополнительно нужно иметь в виду, что часто используются поля в виде E = E0 ехр (icoO, что приводит к появлению комплексно сопряженных величин. Кроме того, ток проводимости Jnpoв чаще обозначается через j, а полный ток — icoD/4jt или не вводится или обозначается через j' (см. [84]).
<284 V = со/2я и подставлены известные значения для электрона (е = 4,8-ю-10 СГСЭ, m = 9,1-10-28 г).
Равенство нулю проводимости о при сделанных предположениях вполне понятно: в силу отсутствия соударений электроны и ионы не передают своей энергии другим электронам, ионам или молекулам, а лишь колеблются под влиянием поля. В рамках элементарной теории влияние соударений можно учесть путем введения некоторой СИЛЫ трения /ПУэффГл, равной среднему изменению импульса частицы в единицу времени. Если считать, что при каждом соударении с ионом или с молекулой электрон в среднем теряет весь импульс упорядоченного движения тгп, то Уэфф есть число соударений в секунду. Фактически, конечно, при разных соударениях изменения импульса также различны, и поэтому Vэфф играет роль некоторого эффективного числа (частоты) соударений. Строго говоря, величина уэфф, таким образом, еще не определена и делается только предположение о том, что средняя сила трения пропорциональна хп. Фактически же из основ кинетической теории газов известно, что, скажем, при соударениях с молекулами, уЭфф = лO1NmV, где а—эффективный радиус молекулы (их концентрация равна Nm) и V — некоторая средняя тепловая скорость электронов. Более определенные выражения для Vэфф при соударениях электронов с молекулами и с ионами получают при кинетическом рассмотрении, но саму величину Vэфф можно использовать уже в элементарной теории. Итак, при учете соударений
mrn + mvmrn = еЕ0 ехр (— Ш) (12.5)
и, поступая, как раньше, получаем
, Ane1N , , . „ , . . Ana
є = 1--;—г—.-г = е + ге' E= е 4- г —-,
та (со + п>Эфф) со
4ne2N 1-е' е^УУзфф Ї (12-6)
т(®' + ^фф)' СТ~ 4Я V** «(СО2+V2ct,) •
В важных предельных случаях имеем
Ane2N е 2JV Vaifwll „ Nv.^
е'=1--—, а=-^ = 2,53-108 —, со2 » v..,
та2 та2 ' а2 эфф'
(12.7)
, , Ane2N e2N 9 9 „п 0,
8=1--—, а==-, ©2<V- (12.8)
"™эфф ягуэФФ ФФ
В низкочастотном пределе (12.8) проводимость совпадает, конечно, с получающейся в элементарной теории статической проводимостью (1/Уэфф = тэфф, где тэфф — эффективное время свободного пробега, которое используется наряду с Vэфф).
При выводе выражения для є мы выше считали, что действующее на электрон поле Ед равно макроскопическому (сред-
<285 нему) полю Е, ибо именно такое поле подставляли в уравнения движения (12.3) и (12.5). Между тем, как хорошо известно из теории диэлектриков, поля Ед и Е, вообще говоря, не равны друг другу и для простейших моделей диэлектрика (см. гл. 6 и, например, [85]) Ед = E + 4/3лР ='/з(е + 2) Р. В плазме (и вообще в хорошо проводящей среде) подобная формула неприменима, и вместе с тем достаточно строгое выяснение связи между Ед и E является непростой задачей (см. [84] и указанную там литературу). В газовой плазме с большой точностью можно считать, что
Ед = Е, (12.9)
как это принималось выше и будет предполагаться в дальнейшем. Заметим, однако, что вопрос о действующем поле заслуживает более детального анализа в применении к плотной (металлической) плазме, а также при учете нелинейных эффектов. В связи с последним замечанием подчеркнем, что мы здесь везде ограничиваемся линейным приближением — линейной электродинамикой плазмы. В сильных полях (вопрос о том, когда поле можно считать сильным, требует особого анализа*)) картина значительно усложняется и до сих пор является предметом многочисленных исследований (см. [106, 165, 172]).
