Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Быть может не будет излишним пояснить также, почему одно из уравнений поля записано выше в виде (12.1), а не в форме div D = div еЕ = 4npext (см., например, (11.1)). Дело просто в том, что внешние заряды в (12.1) считаются отсутствующими и используется уравнение div D = div E -f 4я div P = 0. Далее источником поляризации считаются как раз лишь рассматриваемые электроны и ионы, в силу чего div P = e(N— Ni). Иными словами, отличие проницаемости є от единицы обусловлено электронами и ионами, и если бы мы записали уравнение в виде div еЕ = 4ne(N — Ni), как это может показаться естественным на первый взгляд, то дважды учли бы один и тот же эффект.
Поскольку элементарные формулы (12.6) — (12.8) имеют весьма широкую область применимости, приведем здесь некоторые выражения для эффективного числа соударений уЭфф (см. [84]). Для соударений электронов с молекулами точное вычисление не представляется, вообще говоря, возможным, и широко используются данные экспериментов. Если же считать молекулу твердым шариком радиуса а, то
m=J = 8,3 • 10%а2 л/Т Nm, со2 » у2фф, (12.10)
^фф «2«<фф, (12.11)
*) Например, в отсутствие соударений линейное приближение в изотропной плазме пригодно, вообще говоря, пока скорость упорядоченного движения электронов мала по сравнению со скоростью теплового движения, т. е. f <— CEaImtti < V ~ sJy.Tjm ,
<286 где v = л/8%Т Inm— средняя арифметическая скорость электронов при равновесном распределении скоростей с температурой Т. Отличие выражений (12.10) и (12.11) незначительно (4/з = 1,33, Зя/8 = 1,18), особенно учитывая, что речь идет о «предельной» модели твердых шариков. Тем не менее уже на этом примере ясно, что формулы элементарной теории носят приближенный характер и эффективное число соударений фактически является функцией частоты.
Для соударений электронов с ионами (при N = Ni)
vSAcb і = VIn Го,37Inf220-^-Y со2 » V2lblb,
эфф, ( ^ C2N lsJ Th- V Л' 'У зфф
(12.12)
= Y~l. ®2«v2M. (12.13)
Значение (12.13) примерно втрое меньше величины (12.12), но столь большое различие между ними несколько иллюзорно. Дело в том, что при условии со2 V2cmj межэлектронные соударения не играют роли и выражение (12.12) сохраняет силу. В случае же со2 <С V2iftjj межэлектронные соударения влияют на і и при их учете выражение (12.13) нужно умножить на 1,73. В итоге при учете межэлектронных соударений эффективное число соударений электронов с ионами в высокочастотном случае примерно вдвое больше числа соударений в низкочастотном случае.
Если точные выражения (12.12) и (12.13) можно получить только в результате детального расчета, то их структуру нетрудно установнтьиз простых соображений. Соударение электрона с ионом приводит к значительному изменению направления скорости электрона, если он пролетает от иона на прицельном расстоянии р <~ е2/кТ, когда кулоповская энергия е2/р ~ кТ, т. с. порядка кинетической энергии электрона. Отсюда соответствующее сечение для «близких» соударений q ~ пр2 ~ пе4/(яТ)2. Число соударений Vэфф, ; определяется, однако, не только близкими, но и «далекими» соударениями, учет которых как раз и приводит к появлению в (12.12) и (12.13) логарифмического множителя, обычно обозначаемого через L. Этот множитель типичен для физики плазмы, его появление связано с тем, что ку-лоновское поле медленно (как 1 /г) спадает с расстоянием лишь вплоть до некоторого дебаевского радиуса экранирования, равного __
VS=WjTcm- о2-14)
Точнее, данный ион плазмы с зарядом е в результате отталкивания электронов и притяжения других ионов создает в плазме поле с потенциалом (е/г)ехр(—r/rD), которое совпадает с кулоновским полем е/г лишь в области г rD. При г г0 поле
<287 Практически отсутствует и, таким образом, при соудареййях электрона с ионом в плазме именно радиус порядга rD играет роль максимального прицельного параметра ртэх. Кулоиовский логарифм обычно записывается в виде
L = Ш { J^l = In { Ь ^ In f220 ДД (12.15)
I pmin J I 2е V8Jie2Nj J 2 V NhJ '
е2
где положено Ртах = Го И pnlIn = ; ВОПрОС об ЭКраНИрОВКе
и вывод выражения (12.14) рассматриваются ниже (другой метод см., например, в § 4 книги [84]).
Понятие о дебаевском экранировании, характеризуемом де-баевским радиусом го, имеет физический смысл лишь в условиях, когда радиус rD заметно превосходит среднее расстояние между частицами г ~ N~'ls. Таким образом, мы приходим к условиям
г0»ЛГ7\ uT>e2N'h. (12.16)
Второе неравенство здесь, конечно, следует из первого и определения (12.14). Смысл этого условия очевиден: средняя кине-
3 „
тическая энергия частиц в равновесной плазме кТ должна
быть велика по сравнению со средней энергией кулоновского взаимодействия между частицами e2jr ~ e2N'!K Газовой плазмой или просто плазмой (в отличие, скажем, от твердотельной плазмы) называют как раз систему заряженных частиц, в которой условие (12.16) соблюдается. Не нужно думать, однако, что в газовой плазме можно неограниченно пользоваться представлением о дебаевском экранировании. В частности, нужно заметить, что для расстояний и длин волн, сравнимых (или меньших) со средним расстоянием между частицами г ~ N~'/>, нельзя уже, конечно, считать плазму непрерывной средой или, точнее, флуктуации числа частиц или заряда становятся большими. Сказанное не препятствует использованию уравнений поля (11.1) для статистических средних величин при больших значениях волнового вектора к; в этом смысле, например, приводимое ниже выражение (12.49) для є/(0, k) формально пригодно и при (т. е. при X = Injk г ~ N-''*). Однако при вычислении флуктуаций и, вообще, если мы интересуемся не только средними статистическими выражениями, условие типа X N-'h должно играть свою роль. Отметим также, что классическое описание частиц в обсуждаемых задачах предполагает соблюдение условия X Э- XB==Tiftnv, где — длина волны де Бройля.
