Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
334
Глава 14
Поскольку собственные значения различны, все внедиагональные элементы возмущения 6М могут быть порождены внутренним образом. Универсальное возмущение диагональной матрицы с различными собственными значениями само является диагональной матрицей. Возмущение вызывает лишь небольшое смещение значений изолированных собственных значений, не изменяя при этом знак их действительной части1), или свойства устойчивости М0. В этом смысле матрица с п невырожденными (изолированными) собственными значениями аналогична морсовским функциям с невырожденными (изолированными) критическими точками.
Пример 3. Предположим, что М0 имеет собственные значения Xt, Я2, ... с вырожденностями d\, dt,. ¦. . Тогда матрица М0 может быть взята в жорда-новой канонической форме
У
J, (X,)
J2 (X,)
(14.30)
Инфинитезимальное преобразование подобия 6S также может быть представлено в блочной форме
— 5ц 512 5[з ...
S21 ^22
6S =
(14.31)
где S,-,
(14.32)
- di X ^/-матрица. Коммутатор дает
bMij = StjJj (Xl)-Jt(Xi)S{,.
Полученное уравнение может быть однозначно разрешено для элементов di X dj-матрицы 5,-/ через элементы di X (^-матрицы бМц, если i ф /', так как в этом случае fa Ф fa. Следовательно, все внеблочно-диагональные возмущения 6М являются внутренними, и 3*с может быть выбрано так, что его матричное представление будет иметь следующую структуру:
¦(Ш)и 0
0 (бЛ/)а2
?с =
(14.33)
Пример 4. Предположим, что М0 имеет ft-кратно вырожденное собственное значение и ее жорданова каноническая форма имеет структуру
Л/~У(Д)=
А 1 А
О
о
Л 1
(14.34.1
1) Предполагается, что все собственные значения имеют отличные от нуля действительные части,
Канонические формы Жордана — Арнольда
335
Подпространство 9с матриц может быть схематически представлено как
гази
при этом элементы матриц на отмеченных участках диагонали равны между собой, а остальные элементы равны нулю [сравните с (14.18а)]. Подпространство матриц 3>с может быть выбрано так, что его схематическим представлением будет [1]
(М. 31)
при этом отмеченные элементы матриц независимы, а остальные равны нулю [сравните с (14.18г)]. Наиболее общее возмущение жордановой матрицы
(14.34) ХП'ХП2ХПЗ ... (й] ^ пг ^ п3 > ... > 1) [сравните с (14.3)1 имеет следующую размерность:
D “ Ч" 3^2 5«з . (14.37)
Пример 5. Наиболее общее возмущение жордановой матрицы
"А, 1 О О'
О Л 1 О О О Л о _.0 О О X.
имеет вид
Мо —
ЬМ =
О 0 0 10'
0 0 0 I 0
*4 х3 х2 \ х,
!
Хъ 0 0 j х$.
(14.38)
ООО Смотрите (14.12).
ООО Читатель, который внимательно следил за ходом наших рассуждений, не мог не увидеть аналогии, между
336
Глава 14
возмущениями, изучаемыми в гл. 4, и возмущениями, рассматриваемыми в этой главе, однако он также не мог не заметить, что мы потерпели неудачу, пытаясь довести аналогию между анализами функции и матриц до конца. Объясняется это тем, что нелинейные преобразования, описанные в гл. 4, были глобальными, в то время как линейные преобразования, рассмотренные в этой главе, локальны (инфинитезимальны). Инфинитезимальные преобразования подобия были введены для того, чтобы стало возможным работать с линейным векторным пространством & (алгеброй Ли), а не с группой Ли G преобразований подобия. Освобождение от этих инфинитезимальных ограничений достигается путем замен
-*G (группа Ли),
3*с —* С (централизатор),
ZPi—>G/C (фактор-множество).
Локальное и глобальное рассмотрения дают эквивалентные результаты, хотя первое значительно проще. Это наводит на мысль о существовании «инфинитезимального аналога» методов, описанных в гл. 4.
3. ПРИЛОЖЕНИЯ
3.1. Катастрофы типа А2
В этом и следующем разделах мы будем предполагать, что матрица М0 уже приведена к жордановой канонической форме. Кроме того, предположим, что все собственные значения М0 вещественны. Следовательно, можно ограничиться рассмотрением лишь вещественных возмущений бМ матрицы М0. Сделав подобные предположения, мы естественно вводим ограничение, рассматривая вместо поля комплексных чисел только поле вещественных чисел: R.
Пусть М0 — 2 X 2-матрица
m0(y) = y/2 + [() о]- (14>39)
Самое общее семейство матриц, содержащее вырожденную
2 X 2-матрицу М0(у)> имеет вид
М(у: х, ») —Afo(v) + [° v|J. (.4,40)
