Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
= Мо -|- [65, Мо] -|- ... .
Если мы возьмем малую матрицу 65:
65 =
ABC а Ь с -а Р Y -
(14.15)
(14.16)
332
Глава 14
любой элемент которой «мал», то
— а А — Ь В — с'
[65, М0] = — а а — р Ь — у
О а р __
Ясно, что некоторые матрицы 6Sc коммутируют с матрицей Мо
(14.17)
AS, =
А
О
О
В
А
О
С
в
А
(14.18а)
в то время как другие матрицы 6S; не коммутируют с М0; например,
"0 0 О
6 Sj= а х' г' . (14.186)
_а Р
Также очевидно, что некоторые матрицы 6Mi могут быть записаны в виде коммутатора некоторой матрицы 6S с Мо:
6т13
6/7123 , (14.18в)
- 6mu — 6m22 _
в то время как другие матрицы 6Мс — нет; например,
" 0 0 0 ~
6МС = ООО . (14.18г)
_ X у Z _
Можно пренебречь всеми возмущениями 6М матрицы М0 вида (14.18в), так как они «внутренне» порождаются координатными преобразованиями (т. е. заменой базиса). Следовательно, самое общее возмущение матрицы М0 наименьшей размерности имеет вид
XI 0
бШц 6т 12
6М; = 6m2i 6 т22
0 --- 6m2i
Мо + 6М =
О X у
1
z + X _
(14.19)
Вернемся к обсуждению общей проблемы. Инфинитезимальные преобразования подобия S 1 + 6S вызывают возмущения М0 в соответствии с
(I + 6S)M0(I + 6S)-1 =Af0 + 6Af,
6М = [6S, Mo] + О (2).
Множество инфинитезимальных матриц 6S образует линейное векторное пространство Подмножество матриц в S’, коммутирующих с М0, Гер.
(14.18а)], образует линейное векторное подпространство с в пространстве 9*; если 6Si, 6S2 е STс, то
[a6Si + p6S2, Мо] = a [6Sb М0] + Р [6S2, М0] = 0. (14.21)
Канонические формы Жордана — Арнольда
333
Подпространство ЗРС определено однозначно. Пространство SP может быть представлено в виде прямой суммы
9>=9>с@ 9>и 9>СП Pi = 0. (14.22)
Подпространство SPi [ср. (14.186)1 не единственно. Матричная структура пространства 9>i может быть выбрана подходящим образом.
Множество инфинитезимальных преобразований 6М матрицы М0 является линейным векторным пространством 9s ~СЛ . Подмножество матриц;?, которые могут быть представлены в виде [6S, Мо], образует линейное векторное подпространство Si [внутреннее, ср. с (14.18в)] в пространстве если 6Aii = [6Si, М0] и 6М2 — [6S2, Мо], то
абМ, + рбМ2 = а [6Si, Мо] + Р [6S2> М0] = [с^ + P6S2, М0]. (14.23)
Подпространство !Pi определено однозначно. Пространство 9* может быть представлено как
9 = ^П^с = 0. (14.24)
Подпространство &с Гер. с (14.18г) ] не единственно. Матричная структура пространства !РС может быть выбрана подходящим образом.
Ранее мы уже пояснили, почему между двумя пространствами 91 и & должен существовать некоторый тип двойственности. В частности, существует взаимно однозначное соответствие между (не единственным) пространством SPi и единственным пространством !Pi. Предположим, что для некоторого 6М s можно найти две матрицы 6Si, 6S2 s SP i, коммутаторы которых с М0 дают 6М. Тогда 6Si — 6S2 s Pi, и из
[6Si — 6S2, М0] = 6М — 6М = 0 (14.25)
следует, что 6Si — 6S2 е д>с. Так как 9>c{\9>i = Q, то 6Si — 6S2 = 0. По-
этому соответствие между этими пространствами таково:
единственно <? = SP с 0 SP i
Ь-l (14.26)
& = ®?1
единственно
Поскольку SP н & изоморфны С"!, a S’i изоморфно Э'и то должно существовать взаимно однозначное соответствие между Я’с и !?с. Наименьшее универсальное возмущение матрицы М0 лежит в !РС¦ Таким образом, 9*с может быть построено, как показано ниже:
1
I т.т
1
3
^Неоднозначно ^
Пример 2. Предположим, что М0 имеет различные собственные значения. Без
потери общности можно считать, что матрица М0 диагональна и имеет соб-
ственные значения Xi ф Хз ф ... ф Х„. Тогда
бМ == [6S, М0], (14.28)
6mu = 6SiI(X1-Xi). (14.29)
