Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
В общем случае ненулевое возмущение (х, у)ф(0, 0) будет снимать вырожденность собственных значений, так что жорда-
Канонические формы Жордана — Арнольда
337
нова каноническая форма возмущенной матрицы диагональна. Собственные значения А* матрицы М(у, х,у) таковы:
Парабола (х/2)2-\-у = 0 образует сепаратрису в плоскости управления х — у. В открытой области (х/2)2 + у<0 собственные значения образуют комплексно-сопряженную пару, в то время как в открытой области (я/2)2 -(- у > 0 они оба вещественны. На сепаратрисе оба значения равны х/2 + у.
Гладкая замена переменных
более просто вскрывает действие возмущений на собственные значения и связь с элементарной теорией катастроф. Вещественная часть собственных значений дается формулой
Зависимость от х' тривиальна, зависимость от t каноническая. ООО Гладкая замена переменных (14.42) может быть получена посредством преобразования подобия
3.2. Катастрофы типа А3
Рассмотрим жорданову квадратную матрицу порядка три:
ственно ожидать, что (14.45) будет связана с катастрофой А3. Это каноническое соответствие форма — катастрофа выглядит достаточно просто, и его можно детально проиллюстрировать для матрицы (14.45) (однако для высших катастроф оно ста» новится достаточно сложным).
(14.41)
х' = х/2, t == (х/2)2 + у
(14.42)
X
г\ 1 0-Mo(y)= 0 у 1 .
_0 0 y -
(14.45)
Поскольку матрица (14.39) связана с катастрофой Л2, то есте-
338
Глава 14
Канонической формой Жордана — Арнольда для Af0(v) служит
Y 1 ° -I
О у 1 (14.46)
¦г —q у —р.
м (y; р, q, г) =
Как было отмечено раньше, характеристическое уравнение для этой матрицы будет кубическим, так что присутствует катастрофа сборки. Для преобразования (14.46) к более удобному виду может быть использовано преобразование подобия
г---А, 1 0 - гс ---А, 1 0 -|
yh + 0 -X 1 -*У/з + 0 , (14.47)
1
г-
.---г ---q ---р---Х. . ---Ь а с --- X.
I Характеристическое I Характеристическое ]• уравнение | уравнение
(X — Y)3 + Р (X — Y)2 + Ч (X — Y) + г — 0 -» х3 + ах + b = 0, (14.48)
х = X — у — с.
Коэффициенты p, q, г и а, Ь, с связаны между собой посредством формул
a = -j(3q — р2), 6=-щг(2р3 — 9pq — 27г), c = — jp. (14.49)
Итак, мы получили следующее соотношение между каноническими формами:
М (v; Р, q, г) = М (у + с; а, Ь). (14.50)
Один из трех параметров (с = —р/3) может быть поглощен собственным значением. Этого легко достигнуть посредством переноса центра тяжести собственных значений. Остальные два управляющих параметра определяют способ, которым три собственных значения расщепляются после возмущения. Характеристическое уравнение
det jVf (y + с — X) а, Ь) = 0 (14.51)
является обычным уравнением состояния многообразия катастрофы сборки. Внутри области, образуемой сборкой М (у + с;
а, Ь), имеется три вещественных различных собственных значения со средним у + с. Вне этой области имеется одно вещественное собственное значение и комплексно-сопряженная пара. Два собственных значения вырождаются на линиях складки. Все три становятся вырожденными при (а, Ь) = (0, 0).
Канонические формы Жордана — Арнольда
339
3.3. Катастрофы типа Ак
Рассмотрим квадратную жорданову матрицу Af0(v) порядка А: и ее универсальное возмущение 8Af:
Мо (у + Ж = М (у\ рь ..., Pk) =
У 1 О"
Y 1
1
Г 0 1-
L рк • • • Pi J
(14.52)
, О У
Характеристическое уравнение
к
detM(v — A,; plt pk)= Е Р/(^~ Y)ft_/ = 0, р0 = 1, (14.53)
/ “О
является полиномиальным уравнением степени k относительно неизвестного х = Х — у. Всегда можно выбрать новое начало координат на оси х {х = х' — (l/&)pi) так. что член (х')к~1 будет отсутствовать. Такое изменение начала координат (для функций) выполняется при помощи преобразований подобия для матриц. Полученное характеристическое уравнение будет уравнением состояния W = 0 катастрофы Ак. В результате этого получаем, что множество точек в пространстве управляющих параметров R*-1 для возмущения
М(х'; си ..., ск_х) =
х' 1 О
х' 1
О х' 1
_ С1 С 2 ¦ • * С %_1 X
у которого вырожденность собственных значений не полностью
ликвидирована, соответствует в точности бифуркационному
множеству 9”в катастрофы Ак.
