Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Таблица 13.1. Преобразование Френеля факторов элементарных катастроф в произведение двух сомножителей:
+ °о
ftZ/2 ^ glbCG wdlx _ kOj [CG (*)]
Росток Каноническая О / ICG (01
форма
А±(р-1) ±*р р-2 [е±1„/2Р + е±(-)р^/2Р] г(1+±)
2 р
D± (р+1) х2у ± ур Р - 1 [е(1П/4) (1 ± 1/р) + е(- 1X1/4) (L ± (- jP+l/р)-] х
х4Г(т)г(1+1^)
•?±6 X3 ± (/'* 5 2со*тг(т)Х2'±"’г(т)
12
е7 X3 + ху3 4 2с0‘ТГг(т)ХЗс0‘ТГг('7')
9
Ев х3 + уъ 7 2с“тг(т)Х2“ЧИ4)
15
Если происходящая в окрестности Q0 катастрофа наивысшей размерности имеет место в самой Q0, то каустики, появляющиеся на экране R2, примыкающем я Qo, могут принимать лишь такие канонические формы, которые могут быть получены при рассмотрении двумерных срезов соответствующего бифуркационного множества. Например, если росток катастрофы А4 расположен где-то в R3, то каустики, с которыми мы столкнемся, помещая плоский экран вблизи этого ростка в R3, могут принимать формы, изображенные на рис. 13.5, а. Аналогичное рассмотрение может быть ¦ проведено в случае ростков катастроф D+4 (рис. 13.5,6) h.D-4 (13.5,в). Каноническое распределение ростков катастрофы приводит к аналогичным каноническим распределениям каустик трехмерных или большего (п > 3) числа измерений. Кроме того, известный канонический вид плоских сечений бифуркационных множеств и масштабные соотношения между управляющими параметрами позволяют на основе наблю-
318
Глава 13
6
Рис. 13.5. Каустики, связанные с трехмерными катастрофами.
Катастрофы А4, ?_|_4» ?—4 являются сечениями соответствующего бифуркационного множества плоскостью R2; изображенные на рисунках каустики получены на
основании рис. 5.6, 5.11 и 5.17 еоответственно,
Каустики и дифракционные картины
дений каустик на двух параллельных плоскостях легко обнаружить в случае п = 3 плоскость, содержащую каустический росток.
ООО Обратим внимание на сходство понятий, используемых в данной главе и в гл. 10. Если фазовую Р — 7-диаграмму можно рассматривать как пересечение физической плоскости
Р — Т с максвелловским множеством термодинамического потенциала 'З (Еа; ip), то диаграмму каустики на плоскости экрана можно представить как пересечение R2(]^b плоскости физического экрана с бифуркационным множеством функции оптической длины пути Ф(х; ?2). В обоих случаях, изменяя положение и ориентацию секущей плоскости R2, можно отобразить максвелловское множество и бифуркационное множество в пространство управляющих параметров соответствующей катастрофы. И в том и в другом случае существует дуализм между пространственными переменными и управляющими параметрами.
ООО Параллель между каустиками и термодинамическим равновесием может быть несколько расширена. Существует класс тригонометрических интегралов, зависящих от параметров ?2, которые могут быть представлены в виде
A (Q) = J el Is м-Л *№dnx. (13.36)
Здесь <?2, х> есть скалярное произведение двух я-мерных векторов х, ?2. Такие интегралы составляют специальный класс
интегралов (13.9) с
Ф(дг; Q) = S(x)-Q- х. (13.37)
Метод стационарной фазы позволяет сразу же указать на подсистему точек (х; ?2) с: Rn 0 'lRn, которые в коротковолновом пределе дают существенный вклад в интеграл (13.36). Это многообразие определяется соотношением
V*<3>(*; ?2) = 0 <=> -Щ- = Qj. (13.38)
Такое л-мерное многообразие в Rn0 Rn называют лагранжевым многообразием. Многообразия подобного типа существуют и в термодинамике, поскольку выполняется соотношение
(13.39)
320
Глава 13
5. ДИФРАКЦИОННЫЕ КАРТИНЫ
И ФУНКЦИИ КАТАСТРОФЫ
Структура каустики определяется двумерным сечением бифуркационного множества некоторой катастрофы. Амплитуда каждой компоненты каустики ведет себя как (1Д)а, где показатель степени о для простых катастроф приведен в табл. 13.1. Например, сингулярность складки для каустики подобна (1/Х)2/6, а сингулярность сборки ведет себя как (1Д)2/4. Для коротковолнового предела эти результаты являются точными.
