Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
В предельном случае рассматриваемые интенсивности являются несобственными. Однако на практике интенсивности могут быть большими, но они остаются ограниченными сверху; в свою очередь длины волн могут быть малыми, но практически они ограничены снизу. При предельном переходе (Х->-к малой величине, но X у*-0) приближение стационарной фазы не является строго корректным. В окрестности каждого ростка катастрофы существуют функции с изолированными критическими точками, критические значения которых соизмеримы с X. Следовательно, оценка амплитуды Л(?2) с помощью суммирования вкладов от изолированных критических точек (13.14) оказывается плохим приближением, и пределы интегрирования в (13.23) не могут быть расширены до ±°о.
Подобные оценки показывают, что необходимо вычислить вклады всех стационарных точек, находящихся в окрестности ростка катастрофы, для случая, когда предельное значение длины волны к отлично от нуля. Это означает, что следует рассмотреть интеграл Френеля от стандартной деформации соответствующего ростка катастрофы. Проиллюстрируем это для ростка Ар = хр+х. Дифракционный интеграл
кт \ е'Ч"’*"с........................ с,.Л,
— ОО
,г, , +Г «[(P+irV+’+EMcVI
1[АР\ сь ср_!]= Jel
— оо
с/=а/А1-^р+1), о = Т(рТТ) <13-40)
представляет собой преобразование Френеля канонической функции катастрофы. Интеграл /[CG(/) ] есть канонический дифракционный интеграл, взятый первоначально в пространстве управляющих параметров. Для простейшей катастрофы А2 стандартная деформация есть (7з)xz-\-tx. При t > О стационарных точек не существует, а при t <L 0 их две. Поэтому в коротковолновом пределе X—»-0 следует ожидать, что росток катастрофы А2 будет темным при / >0 и светлым при ?<0, а амплитуда
Каустики и дифракционные картины
321
будет уменьшаться при убывании t, поскольку кривизна в двух стационарных точках Морса будет убывать с уменьшением t. Области t > 0 и t < 0 разделяются каустикой при t = 0. Действительно,
+ оо
^ enw+ix]dx = 2M(t), (13.41)
где Ai (г1) есть функция Эйри [3] (рис. 13.6). При положительном аргументе эта функция круто падает до нуля, а при от-
рицательном убывающем аргументе она быстро осциллирует, медленно убывая. На основании (13.40) имеем
+оо
km J eikW*+a* dx = 2k>tbк\(а№). (13.42)
— оо
Аналогичным образом могут быть рассмотрены другие катастрофы. Так, канонический дифракционный интеграл 1[Аг\
а, Ь] представлен на рис. 13.7 [4]. Заметим, что поперечные сечения, ортогональные линиям складки, выглядят подобно функциям Эйри за вычетом некоторого фона. Происхождение функций Эйри связывают с двумя складывающимися листами, а генезис фона — с удаленным листом. Хотя со складкой можно связать существование темной области, для сборки, которая всегда имеет по меньшей мере одну стационарную точку, таких темных областей не существует.
Классические функции Эйри (1838) и Пирси (1947) непосредственно связаны с деформациями двух простейших катастроф — они являются преобразованиями Френеля от этих функций катастроф. Последнее обстоятельство дает возможность разработать методику конструирования аналогов канонических дифракционных картин более высокой размерности. Правда,
11 Зак. 731
Каустики и дифракционные картины
323
канонические дифракционные картины более высокой размерности не могут быть представлены графически и очень не легко найти их зрительный образ. Единственной возможностью визуализации таких картин является наблюдение на экране их двумерных сечений с последующим графическим воспроизведением после соответствующих вычислений. Например, если мы наблюдаем каустику, изображенную на рис. 13.5 для А4 при А = —1, то мы знаем, что это одно из поперечных сечений бифуркационного множества А4 плоскостью а — const. Следовательно, дифракционная картина на экране Я1Я2 будет иметь следующее распределение интенсивности:
+ оо
I (Qj, Я2) ~ ^
(13.43)
В окрестности такой каустики дифракционная картина будет описываться функциями Эйри или Пирси. Однако если' мы выберем другую плоскость наблюдения Я1Я2 так, чтобы наблюдалась каустика, изображенная на рис. 13.5 для Л4 при А == О, то для описания дифракционной картины, связанной с предельным переходом X-*- малая величина ->-0, уже нельзя использовать классические функции, она будет описываться выражением (13.43) при а = 0.
Если наши наблюдения относятся к плоским сечениям бифуркационного множества катастрофы Л4 при Ъ — const или с = const, то дифракционная картина, связанная с соответствующими каустиками, может быть описана (локально) функциями Эйри или Пирси. Однако когда плоскость наблюдения смещается так, что Ь-*- 0 или с-»-0, то соответствующая дифракционная картина не будет больше описываться этими функциями.
Теперь становится ясной общая методика предсказания связанных с каустикой дифракционных картин в зависимости от катастрофы размерности k пространства управляющих параметров. Предположим, что плоскость наблюдения Яь Я2 расположена на расстоянии d от начала отсчета в пространстве управляющих параметров Rk. Тогда k управляющих параметров могут быть записаны как линейные комбинации Я1 и Я2 [ср. с К 10.63)]:
