Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 3. Рассмотрим совместную систему линейных дифференциальных уравнений
У + Аху + Вху + С\у = — Dxz,
z + A2z — — Сгу (14.9)
и определим наименьшее семейство совместных линейных уравнений от у, у, у, у и г, z, содержащее все возмущения вышеприведенной системы. Для
«30
Глава 14
этого можно построить матрицу, соответствующую линейной системе (14.9),
~У~ 1 ~У~
О
о
о
d У 0 0 10 У
dt У --- Ct ---Вх ---А\ ---ZJj У
_ Z 0 -С2 0 --- Аг _ _z _
Этот результат наводит на мысль, что самое общее возмущение системы (14.9) может быть получено заменой
Сгу -> Вгу + Сгу + D%y, (14.11)
результатом которой является линейная система, зависящая от двух переменных состояния (у, г) еСа и восьми управляющих параметров
(Л(, ..., Д2) еС*. В действительности имеется меньшее семейство линейных
систем, содержащее как (14.9), так и любое ее возмущение и представляющее собой 6-параметрическое семейство
У + А\У + В^у + С\У = — D^z,
2 + Л22 = — Dzy (14.12)
в соответствующей системе координат.
Канонические формы линейного преобразования, существование которых было впервые доказано Жорданом, значительно упростили анализ линейных систем. Существование канонических форм семейств преобразований было доказано Арнольдом 11]. Канонические формы Жордана — Арнольда ведут к каноническому списку собственных значений и их зависимости от управляющих параметров, параметризующих члены семейства линейных уравнений. Эти канонические формы позволяют также определить, какие жордановы канонические формы присутствуют в семействе матриц и как они геометрически взаимосвязаны в пространстве управляющих параметров.
2. ВОЗМУЩЕНИЯ
Согласно гл. 3, анализ произвольных функций п переменных состояния следует начинать с поиска канонических форм таких функций в вырожденной критической точке. При исследовании систем линейных уравнений нашим «рабочим материалом» являются п X л-матрицы. Поэтому роль вырожденной критической точки будут играть вырожденные собственные значения матриц, а канонических ростков в вырожденных критических точках — канонические жордановы формы (14.2) и (14.3) матриц с вырожденными собственными значениями; вместо нелинейных преобразований функций будут использоваться линейные преобразования линейных систем1).
’) Сведение к каноническим формам линейных систем при наличии вырожденное™ было проведено Жорданом задолго до того, как Уитни и Том решили более сложную проблему сведения к каноническим росткам функций.
Канонические формы Жордана — Арнольда
331
Вычисления для матриц, сходные с вычислениями, которые выполняются при приведении функции к каноническому виду (гл. 3), можно найти в любой монографии [2], посвященной теории линейных векторных пространств. Поскольку, однако, в подобных работах, как правило, отсутствует информация относительно нахождения наименьшего универсального возмущения, то, по-видимому, имеет смысл рассмотреть этот вопрос более подробно.
Напомним еще раз, что, как только канонический росток определен, необходимо определить его наиболее общее возмущение. Для этого к ростку добавляют произвольное возмущение, а затем «забывают» все те члены возмущения, которые могут быть получены из ростка с помощью преобразований «подобия» (т. е. нелинейных координатных замен). По этому пути можно пойти и в случае линейных систем. Так, если имеется комплексная п X л-матрица М0, то можно добавить к ней произвольное возмущение 8М, и тогда наиболее общим возмущением будет комплексная лХл_матрица, все элементы которой достаточно малы. Некоторые малые матрицы 6М (кстати, они не представляют для нас особого интереса, поэтому о них можно «забыть») могут быть получены посредством преобразований подобия матрицы М. Оставшиеся матрицы аналогичны универсальным возмущениям ростков катастроф, которые приведены в табл. 2.2.
Пример 1. Положим
%
Ма (Л) =
1 О' О % 1 О О Л
(14.13)
Наиболее общее возмущение Afo(X) имеет вид
~ 6тп 6m12 6mi3~
ЬМ = Ьтц 6т22 6ш2з , (14.14)
_ бл*», б т32 б т33 _
при этом любой элемент матрицы «мал» по величине. Можно получить большое семейство матриц из Ш, выполняя над ней преобразования подобияг
Afo-^SAfoS-1. В общем преобразованные матрицы, близкие к Мо,— это лишь
те матрицы, которые могут быть получены путем преобразований подобия, близких к тождественному. Следовательно,
SMoS-> ('/ + 65) Мо (/ + 65)_I :
; (/ + 65) Ма (/ - 65 + 652 - ...).