Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
1 м\ м*~
С2 = м\ м22 м\
1 .К К
•* О*
-Я1-
Я
(13.44)
И*
Рис. 13.8. Линии уровня и трехмерные изображения дифракционной картины в плоскости а = 0 для катастроф типа D+i и D-4 [5].
0,0 ъ 5,0 Ю,0
Рис. 13.9. Дифракционная картина в плоскости b = +1 для катастрофы At.: Xs/5 + Ьх3/3 + cx2j2 + dx. (Воспроизводится с разрешения Н. А. Поупа.)
Каустики и дифракционные картины
325
Элементы матрицы 1</^3) определяются
структурой каустики на плоскости наблюдения. Если CG(Z) есть росток соответствующей катастрофы и
PMQ), с*(0)] = Р(0„ Q2, d) = P(Q) (13.45)
— стандартная деформация, где координаты с,- линейно выражаются через координаты точек наблюдения Qb й2 в плоскости и параметр расстояния d, то каноническая дифракционная картина будет иметь вид
+ 00
S ... ^е*[са</)+Р<а>]?/<*. (13 46)
I(QU й2, </)~
Этот интеграл может быть численно оценен для любого погружения физического пространства 4R2 в пространство управляющих параметров Rft.
Дифракционные картины в случае сечения катастроф D+i и D-4 плоскостью а — 0 были рассчитаны Тринкхаусом и Дрейпером [5] и воспроизводятся на рис. 13.8; дифракционные картины, соответствующие катастрофе Л4, были вычислены Поупом. На рис. 13.9 представлена дифракционная картина функции F{x\ b, с, d) — хъ/Ъ + Ьх3/3 + сх2/2 + 2х в сечении b = +1-
6. ВЫВОДЫ
Классическая (геометрическая) оптика, классическая механика и классическая термодинамика являются предельными случаями соответственно волновой оптики, волновой механики и статистической механики. В настоящей главе было показано, как может быть осуществлен предельный переход (при А,->-0) в волновой оптике и как можно реконструировать волновую оптику из ее более старой ветви, геометрической оптики. При этом были рассмотрены связь классического вариационного принципа (Ферма) с вариационным принципом волновой оптики и метод стационарной фазы. Последний является прямым приложением разложений (2.1) — (2.3) и позволяет определить, что
— вклад окрестности некритической точки в интеграл
(13.9) аО;
— вклад ¦ окрестности критической точки Морса в интеграл
(13.9) конечен;
— вклад окрестности вырожденной критической точки в интеграл (13.9) является сингулярным типа ~(1Д)°.
Эти результаты справедливы в предельном случае Я-*-0.
Было показано также, что каустики на экране R2 пред* ставляют собой просто двумерные сечения бифуркационногр
326
Глава 13
множества соответствующей катастрофы. Мы «реконструировали» волновую оптику, рассмотрев возможные дифракционные картины, которые могли бы возникать в окрестности каустик при малой, но отличной от нуля длине волны. Канонические деформации катастроф позволяют нам сейчас конструировать канонические дифракционные картины, каждая из которых связана с канонической каустикой.
Приведенные математические построения без труда могут быть перенесены с оптики на механику простой заменой Ф(л;; Q)/K—>9’(хг, X[)/ft, где 9? есть интеграл действия механической системы.
ООО Полное рассмотрение связи между каустиками и теорией катастроф опиралось на работы [6—9].
Литература
1. Вот М., Wolf Е., Principles of Optics (1st ed.), London: Pergamon, 1959.
2. Арнольд В. И. Критические точки гладких функций и их нормальные формы.—УМН, 1975, 30 : 5, 3—65.
3. Airy G. В., On the Intensity of Light in a Neighborhood of a Caustic, Trans. Camb. Phil. Soc., 6, 379—403 (1838); см. также Abramowitz М., Stegun I. A., Handbook of Mathematical Functions, Washington, D. C.: NBS, 1964.
4. Pearcey Т., The Structure of Elecromagnetic Field in the Neighborhood of a Cusp of a Caustic, Phil. Mag., 37, 311—317 (1946).
5. Trinkhaus H., Drepper F., On the Analysis of Diffraction Catastrophes, /. Phys., A10, LI 1—L16 (1977).
6. Arnol’d V. I., Wave Front Evolution and Equivariant Morse Lemma, Com-mun. Pure Appl. Math., 29, 557—582 (1976).
7. Duistermaat J. J., Oscillatory Integrals, Lagrange Immersions and Unfolding of Singularities, Commun. Pure Appl. Math., 27, 207—281 (1974).
8. Janich K-, Caustics and Catastrophes, Math. Ann., 209, 161—180 (1974).
9. Berry М. V., Waves and Thom’s Theorem, Adv. Phys., 25, 1—26 (1976).
14
КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ЖОРДАНА—АРНОЛЬДА
Анализ матриц или, более общо, систем линейных уравнений может быть выполнен точно так же, как и анализ функций, если учесть, что
— в качестве аналога уравнения состояния VV'(x;c')=0 может быть использовано характеристическое уравнение detAf(A;c) =0;
— матрицы с невырожденными (изолированными) собственными значениями устойчивы относительно возмущения точно так же, как и функции с изолированными критическими точками;
— если функции с вырожденными критическими точками часто бывают локально эквивалентны каноническим росткам катастроф, то матрицы с вырожденными собственными значениями всегда глобально эквивалентны каноническим росткам матриц, или жордановым каноническим формам матриц. Кроме того, если росткам катастроф соответствуют канонические возмущения, то в случае жордановых канонических форм мы имеем дело с универсальной деформацией, или с так называемыми каноническими формами Жордана — Арнольда1).