Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Начнем с предположения, что однопараметрическое семейство п X л-матриц имеет один дважды вырожденный корень. В этом случае канонической формой Жордана — Арнольда интересующей нас матрицы будет
[° I] <14-58>
(ее собственные значения и бифуркационное множество приведены на рис. 14.1).
Рис. 14.1. Каноническая зависимость собственных значений возмущенной жордановой 2 X 2-матрицы от универсального возмущения Арнольда t [ср. с (14.59)].
Сплошные линии — вещественные собственные значения; штриховые линнн — мнимые собственные значения. бифуркационное множество расположено в ( - 0.
Канонические формы Жордана — Арнольда
343
Двухпараметрическое семейство интересующих нас 3X3-матриц Жордана — Арнольда имеет вид
Собственные значения над плоскостью (а, Ь) тесно связаны с многообразием катастрофы сборки (при учете добавлений, сделанные выше). Поперечные сечения плоскостями а = —1, 0, +1 показаны на рис. 14.2,6. Бифуркационное множество в плоскости (а, Ь) является стандартной сборкой.
Аналогично могут быть определены бифуркационные множества жордановских ростков с 4 = 3. Жорданова каноническая форма а4 А( и ее бифуркационное множество показаны
на рис. 14.3, а. Бифуркационное множество жордановой формы а3р2 является прямым произведением бифуркационных множеств, соответствующих катастрофам А3 и А2, а поэтому оно выглядит так, как показано на рис. 14.3, в. Бифуркационное множество a2fi2y2 является произведением трех прямых R1 (рис. 14.3,г). Не изменяющее следа трехпараметрическое возмущение определяется как
Бифуркационным множеством будет конус х2 + г2 — у2 = О (рис. 14.3,6).
ООО В общем случае бифуркационное множество, соответствующее возмущению жорданова ростка вида /i(a)/2(P) ..., где Ji (a) = apaq .представляет собой прямое произведение бифуркационных множеств, соответствующих жордановым формам для каждого вырожденного собственного значения.
На основании соотношения, существующего между вырож-денностью и возмущениями функций и матриц, можно сделать вывод о возможности существования матричных аналогов бифуркационного множества Э’в и множества Максвелла Рм. Как было показано', бифуркационное множество описывает остаточные вырожденности, не полностью уничтоженные возмущениями. Асимптотическая устойчивость линейной системы вида dx/dt = = Мх определяется собственным значением, имеющим наибольшую вещественную часть. Если теперь определить множество Максвелла канонической формы Жордана — Арнольда как множество точек пространства управляющих параметров, в которых два или более несопряженных собственных значения имеют
Г 0 1 °1
О 0 1 _—Ь —а 0.
(14.60)
[
a + г х + у х — у a — z
}¦
(14.61)
344
Глава 14
Рис. 14.2. Три собственных значения возмущенной жордановой 3 X 3-матри-цы с канонической зависимостью от параметров универсального возмуще-ния а, Ь.
а — поверхность собственных значений над плоскостью управления выглядит подобно многообразию катастрофы сборки с присоединенными крыльями. Показаны лишь действительные части комплексных собственных значений; б — собственные значения как функции от Ь при а — —1, 0, +1. Двойные лннин указывают равные вещественные части комплексно-сопряженных собственных значений, а расстояние между штриховыми линиями (сверху и снизу) двойными линиями дают значения мнимых частей комплексно* сопряженных собственных значений.
равные вещественные части, то динамическая асимптотическая устойчивость будет иметь место на отдельных компонентах множества Максвелла. Следовательно, множества Максвелла для матриц полностью аналогичны множествам Максвелла для функций.
6. ВЫВОДЫ
Линейные операторы могут быть представлены посредством матриц, действующих на линейных векторных пространствах соответствующей размерности. Две матрицы подобны, а соответствующие операторы эквивалентны, если их характеристические и минимальные многочлены одинаковы.
Возмущение исходного линейного оператора вызывает возмущение коэффициентов характеристического многочлена. Если
6
J
346
Глава 14
Рис. 14.3. Бифуркационное множество в пространстве управляющих параметров R3 для канонических форм Жордана — Арнольда, зависящих от трех управляющих параметров [1].
исходная матрица имела невырожденные собственные значения, то возмущенная матрица также будет иметь невырожденные собственные значения. Когда имеет место вырожденность собственных значений, характеристический многочлен может быть записан в виде произведения сомножителей (% — а)рХ Х(А.— Р)? ..., среди которых есть вырожденные. Возмущение этих отдельных сомножителей может быть проведено почти тем же путем, что и возмущение вырожденных корней градиента потенциала (т. е. уравнения состояния).
Наиболее общее минимальное возмущение матрицы М0 получается после удаления «внутренних возмущений» и сдвига центра тяжести собственных значений. Наиболее общее возмущение матрицы, приведенной к жордановой форме, будет блочно-диагональная матрица (14.33). Возмущение каждого жорданова блока показано в (14.36). Канонической формой Жордана — Арнольда данной жордановой матрицы является семейство матриц минимальной размерности, которое включает все возмущения исходной жордановой матрицы.
