Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
.которое наверное меньше, чем
cos t sint ' 2~ '
В то время, как понятие меры площади без аксиомы Ш5 о конгруентности треугольников в её широкой трактовке теряет свой смысл, понятие ^многоугольники, равновеликие по разложению* и «многоугольники, равновеликие по дополнению* определяется в точности так, как это было сделано, в § 18. Опять-таки так же, как в § 19, доказывается .теорема -46 о том, что два треугольника С равными основаниями и равными высотами равноее.лики по дополнению.
Далее, убеждаемся, чч;о и на основании узкой трак-товки аксиомы Шб на любом отрезке можно построить квадрат, т. е.. четырёхугольник с равными углами, каждый
222:
ДОБАВЛЕНИЕ IT
К rt
из которых составляет -j, и с равными сторонами. В нашей геометрии имеет также место и тео-р ем а П ифа го р а, со г ла сно которой два квадрата, построенные на катетах прямоугольного треугольника, вместе равновелики по дополнению к в а д р, а т у, построенному на гипотенузе этого треугольника. Действительна легко убедиться, что в евклидовом доказательстве теоремы Пифагора используется только конгруентность одинаково расположенных треугольников и, следовательно, "что это доказательство опирается на аксиому о конгруентио-сти треугольников только в её узкой трактовке.
Применяя теорему Пифагора к треугольникам OQP и OQR [черт. 87], Черт. 89. мы с помощью теорему 43 находим, что квадраты, построенные на отрезках ОР и OR, равновелики по дополнению, хотя эти отрезки, как мы убедились, не равны друг другу [черт. 89].
Связь этого обстоятельства с теоремой 52 совершенно ясна, и мы чвидим отсюда, что основная теорема Евклида, согласно которой два равновеликих треугольника с равными основаниями всегда имеют равные высоты, в нашей геометрии тоже несправедлива.
И действительно, упомянутая теорема (теорема 48) была доказана в § 21 при помощи существенного использования понятия «мера площади».
Итак, наша геометрия убеждает нас в следующем:
Невозможно обосновать учение Евклида о площадях с помощью аксиомы о конгруентности треугольников в её узкой трактовке, даже если предположить, что учение о пропорциях справедливо.
В нашей геометрии не выполняется хорошо известное соотношение между гипотенузой и катетами прямоуголь-
О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 223
ного .треугольника—'-соотношение, которое в обычной геометрии выводится из теоремы Пифагора; поэтому я позволю себе назвать нашу геометрию непифагоровой геометрией.
Сделаем сводку важнейших результатов, следующих из нашей непифагоровой, геометрии:
Если мы примем аксиому о конгруентности треугольников в ее более узком смысле, а из аксиом непрерывности будем считать справедливой только аксиому соседства, , то окажется, что теорема о равенстве углог при основании равнобедренного треугольника не может быть доказана, даже если предположить данным учение о пропорциях.. Точно так же не следует отсюда учение Евклида q площадях', также теорема о том, что сумма двух сторон треугольника больше третьей, и третья теорема о равенстве треугольников не являются .необходимыми следствиями из сделанных нами предположений. Мы хотим построить ещё другую непифагорову геометрию, отличающуюся от ранее расмотренной нами геометрии тем, что в ней аксиома Архимеда У1 выполняется, но аксиома соседства V3 не выполняется.
В основу этой геометрии мы положим подмножество й действительных чисел, которое состоит из всех действительных чисел, получающихся из чисел 1 и }i==tg 1 путём применения конечного числа раз операци.й: сложения ш, -{- ш2, вычитания <о, — м2, умножения деления ш, :<о2 (если только
ы2=#=0у и возведения в степень <о“а; при этом <о, и ы2 означают числа, полученные уже с помощью пяти указанных. операций из чисел 1 и jjl. Чтобы получить число ю из чисел 1 й jx, надо эти пять операций применить соответственно я,, я2, ... , пъ раз. Числа ш области Й могут затем перечисляться с помощью возрастающей суммы
«1 + «'+••• + «6'
На основе этрй числовой системы мы построим геометрию плоскости с помощью таких же соглашений, с помощью которых мы построили на стр. 206—207 первую непифагорову геометрию на основе числовой системы Т; мы убедимся потом в том, ,что при естественном определении
224
ДОБАВЛЕНИЕ II
порядка в нашей геометрии в ней выполняются как все
законы счёта 1—16 § 13, так и аксиомы Ii_______3, II, IV.
Каждому числу ш области Q, расширенной путём приобщения к нему числа ро, соответствует бесчисленное множество чисел 0, удовлетворяющих уравнению
&=arctg(D.
Совокупность всех чисел д, получающихся с помощью Этого уравнения, образует некоторую область 0, не совпадающую с Q, но так же, как и Q, счётную. В основу дальнейших наших рассуждений мы положим какой-нибудь способ перечисления чисел области 0. В процессе перечисления существует первое число, не равное произведению рационального числа и числа тг; обозначим его через . Первое число из области 0, которое нельзя представить в виде
