Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Так же, как и в первой непифагоровой геометрии, находим, что всякий угол можно делить пополам н что прямой угол существует, точно так же доказываются приведённые на стр.217—218 теоремы о зеркальном отображении, а также теоремы
учения о пропорциях и теоремы аффинной геометрии. Все углы нашей геометрии встречаются также и в геометрии Евклида, и сравнение углов по их величине в нашей геометрии происходит так же, как и в евклидовой. Отсюда вытекает справедливость теоремы о внешнем угле (теорема 22) и о сумме углов треугольника (теорема 31). Зато теорема о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника оказывается несправедливой. Действительно, из справедливости этой теоремы можно с помощью теоремы о 15*
Черт. 90.
228
ДОБАВЛЕНИЕ It
внешнем угле треугольника получить теорему, ей обратную, о чём уже упоминалось на стр. 222. В том же, что эта обратная теорема в нашей геометрии не выполняется, можно убедиться хотя бы из рассмотрения треугольника OPQ с вершинами О—(0,0), P=-{cosbk .—sin Q=(cos {^,-j-sin &t ). В этом
треугольнике углы Р и Q равны, между ’тем как'стороны этого треугольника ОР— 2 и OQ=2~l не равны.
В этой геометрии не имеет также места учение Евклида о площадях. Несправедлива в этой геометрии и теорема о том, что сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны, так как из справедливости этой теоремы непосредственно следует, что всякий отрезок, лежащий внутри треугольника, меньше его периметра и, стало быть, справедливость аксиомы соседства V3.
Рассмотрение непифагоровых геометрий приводит нас к заключению:
Для доказательства справедливости теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника необходимы как аксиома Архимеда V,, так и ак~ сиома соседства V3.
ДОБАВЛЕНИЕ 111
НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО *)
(Напечатано в Math. Ann., т. 57.)
В своей работе «Основания геометрии», гл. I (стр. 56— 91)**) я выставил систему аксиом для евклидовой геометрии и показал, что можно построить евклидову геометрию иа плоскости, опираясь только на те из этих аксиом, которые касаются плоскости, и даже избегая при этом применения аксиом непрерывности. В этом исследовании я заменяю аксиому о параллельных требованием, соответствующим геометрии Больяи-Лобачевского, и показываю равным образом, что и геометрию Больяи-Лобачевского можно обосновать, опираясь исключительно на аксиомы, касающиеся плоскости, и без использования аксиом непрерывности ***).
*) Мы сохраняем для фамилии Bolyai транскрипцию «Больяи», хотя транскрипция «Ббяи» была бы более точной. {Прим. ред.)
*•) См. также мою статью «По поводу теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника». Proceedings of the London Mathematical Society, т. 35, 1903. (Добавление ll этой |1нигн.)
***) С тех пор соответствующая проблема была исследована также и независимо от аксиомы IV, характеризующей геометрию Больяи-Лобачевского. Прежде всего Дэи (М. Dehn) в статье «Ueber den Inhalt spharischer Dreiecke», Math. Ann., т. 60, обосновал учение о площадях в эллиптической геометрии на плоскости, не пользуясь 'при этом аксиомами непрерывности. Затем Г ессенбергу (Q.H е s s е n b е г g) в статье «Begrfln-dung der elliptischen Geometrie», Math. Ann., т. 61, удалось при тех же предположениях доказать предложения о точках Пересе-
230
ДОБАВЛЕНИЕ III
Это новое обоснование геометрии Больяи-Лобачевского в отношении простоты не уступает, как мне кажется, известным до сих пор обоснованиям, а именно обоснованиям у Больяи и Лобачевского, которые пользовались предельной сферой, и обоснованию Ф. К л е й н а, который опирался на проективные методы. В обоих указанных обоснованиях было существенно использовано как пространство, так и непрерывность.
Чтобы облегчить понимание, я, следуя своей работе «Основания геометрии», сделаю сводку используемых в дальнейшем аксиом плоской геометрии, а именно *):
I. Аксиомы соединения.
I,. Для любых двух точек А, В существует прямая а, принадлежащая каждой из этих двух точек Д, В.
12. Для двух точек А, В существует не более одной прямой, принадлежащей каждой из точек А, В.
Ig. На прямой существуют по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
II. Аксиомы порядка.
Н,. Если точка В лежит между точкой А и точкой С, то А, В, С суть три различные точки прямой
и В лежит также между С и А.
Н2. Для любых двух точек А и С на прямой АС
существует по крайней мере одна точка В, такая, что точка С лежит между А и В.
IIg. Среди любых трёх точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.
Определение. Точки, лежащие между точками А и В, называются также точками отрезка АВ или отрезка ВА.
чения в эллиптической геометрии на плоскости. Наконец, Иельмслев (J. Hjelmslev) в статье «Neue Begriindung der ebenen Geometrie», Math. Ann., т. 64, показал, что можно построить геометрию иа плоскости без аксиом непрерывности и даже без какого-либо допущения относительно пересекающихся нлн н^пересекающихся прямых.
