Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
b = m + rlbti,
где г и г, — некоторые рациональные числа, мы обозначим, если оно вообще существует, через Продолжай так же поступать дальше, мы обозначим через &*п+1 первое число & области 0, которое нельзя представить в виде
& —/-я-(-/¦, &4(-{-/А, + • • •
если только такое & вообще существует.
Таким образом, определена последовательность Ьк ,'®v ,
, ... , которая наверное име^т один члеи, а, может
быть, имеет таковых бесконечное множество. Каждое число О области 0 может быть теперь однозначным образом представлено в виде
д = лг + ггЬк, + г А. 4- • •• +'А„.
где &ti, .. . , и .суть п первых членов только что
определённой последовательности, а г, гх, г$, ... , гп — некоторые рациональные числа.
Так же, как и в первой непифагоровйй геоме+рии (см. стр. 212), мы определим и здесь конгруентность отрезков и углов с помощью к он г р у е н тн о г о отображения.
О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 225
Под конгруентный отображением мы здесь будем понимать любое преобразование вида:
х' iy' — 2г'е1ь (х -(- iy) -J- i. + /jjl,
где & — некоторое число области 0, г, — рациональное число, входящее в вышеуказанное представление числа &, л и ]i — любые числа области 51.
Эти конгруентные отображения, как легко проверить, образуют группу. Действительно, легко проверить, что они обладают указанными иа стр. 208 свойствами 1 и 2. Свойство 3 следует из того факта, что числа
2r‘, cos & — —т , sind
_________tgl
Kl+tg28 K14-tg»»
принадлежат области Q. Свойство 5 получается следующим образом.
Доказательство сводится к однозначному с точностью до слагаемого, кратного 2тг (ср. стр. 209—210), определению числа & из области 0, удовлетворяющего уравнению
0 г,. ет — . ?1
1 е — а + /? 5 •
Разделив мнимую часть числа, стоящего в этом равенстве справа, на его действительную часть, получим:
ё v яя' + ЭД' •
Этим уравнением число & числовой системы 0 определяется с точностью до слагаемого, кратного п. Определение его с точностью до слагаемого, кратного 2it, производится так же, как это было сделано в первой непифагоровой геометрии (см. стр. 211). Доказательства свойств 4, б и 7 производятся тоже, как в первой непифагоровой геометрии.
Таким образом, из доказанных семи свойств конгруеит-ного отображения следует, иа основании общего доказательства, данного на стр. 213, что аксиомы Ш1_6 в нашей геометрии выполняются. Справедливость аксиомы Шг можно,
15 д. Гильберт
226
ДОБАВЛЕНИЕ 11
очевидно, показать аналогично тому, как это было сделано в первой непифагоровой геометрии.
Из этих определений порядка и конгруентности следует справедливость аксиомы Архимеда V,, так как область Q является частью области. всех действительных чисел.
То, что аксиома соседства, напротив того, в нашей геометрии не выполняется, доказывается следующим образом. Для каждого треугольника можно найти конгруент-ный ему треугольник ОАВ с вершинами 0 = (0, 0), А = (а, 0), fi = (js, у), где а и у суть положительные числа. Поэтому достаточно показать, что в каждом таком треугольнике находится отрезок, длина которого была бы, например, равна 1. Луч О В, независимо от того, равно ли р нулю или нет, можно представить с помощью уравнения:
где s есть положительный параметр, принадлежащий области Q. Так как числа ау и |а — PH~Y положительны, то мы. можем найти целое, не обязательно положительное число гх, удовлетворяющее неравенству
(1)
Для данных чисел г,, 8fti, arctgy^>0 наверное можно найти два целых числа а и Ь, удовлетворяющих неравенству
°<5 1Т + ''А1 < afctg -j,
(2)
Из тождества
следует, что а следовательно, в силу теоремы о тангенсе суммы,
d = eSS+>A.
О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 227
суть числа области 0. Из неравенства (2) следует, что луч
х-\- iy — e'b-s, s О
проходит внутри угла <? АОВ. Свободный конец С отрезка длиною в 1, расположенного на этом луче и начинающегося в точке О, можно представить в внде
х iy— 2,‘ • *'*.
Точки О и С расположены по одну сторону прямой АВ [черт. 90], так как, в силу неравенства (1), определители
р —а у
— а 0
Р —а Y cos & — а 2'i sin &
— aY>
> — 2'* | (5 — a |
¦2'-*Y + aY
оба положительны. Таким образом, точка С лежит внутри треугольника ОАВ, т. е. внутри этого треугольника находится отрезок, длина которого равна 1.
