Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
. . . L . ........... . 1 (2)
*П = ЯП1*1+—+Яял*я J
с 'такими коэффициентами а{р что система (1) в точности эквивалентна, системе (2), т. е. когда удовлетворена одна, удовлетворена и другая.
Заметим, между прочим, что утверждение 1 означает, что столбцы матрицы (1) линейно независимы справа, а утверждение 2— что строки матрицы (1) линейно независимы слева.
В коммутативном случае утверждения 1), 2) и 3) равносильны необращению в нуль детерминанта преобразования.
Для п= 1 преобразование имеет вид: х[ = ахъ и каждое из требований 1), 2), 3) означает, очевидно, одно и то же: а фЬ. Заметим, что, в силу закона 5 § 13, для а ф О существует такое число — его мы обозначим я-1,— что яя-1= 1. Умножая это равенство на а справа, получим (закон 6):
(,аа~1)а = а или (закон 9): а(а~1а)==а.
Сравнивая это равенство с я-1=а, мы получим в силу закона 5 (единственность деления):
а~ха = 1,
т. е. а-1 и а дают в произведении 1 в любом порядке.
Преобразование Ху будет, очевидно, обратным к
х\ = ах-у в смысле утверждения 3).
Пусть теорема доказана для всех значений п, меньших данного. Докажем её для данного значения п.
Будем считать, что хоть один из коэффициентов в преобразовании (1) отличен от нуля (иначе теорема теряет смысл). Пусть для определённости это будет апп.
Определим теперь новые элементы х'х........хп—\ по фор-
мулам:
= —Я1
ПРИМЕЧАНИЯ [67]
469
Очевидно, что х\, ..., х"п_ь если вместо х\, хп подставить их выражения из (1), выразятся только через хь ..., хп_х без участия хп. Мы имеем, таким образом, преобразование типа (1), но с меньшим числом элементов. Это преобразование A'j, ..., хn_i в х\, ..., х"_1 мы будем называть коротко преобразованием (3). Мы утверждаем теперь следующее:
Если свойство 1) имеет место для преобразования (\), то оно пмеет место и для преобразования (3), и обратно.
Для этого достаточно доказать, что если свойство 1) не имеет места для (1), то оно не имеет места и для (3) и обратно. Итак, пусть существуют такие значения хъ ..., хп (хотя бы одно из которых не равно 0),. которые обращают в нуль все xv ..., хп. Но из формул (3) видно, что тогда обращаются " » -в нуль и xlt ..., ¦*„_!, т. е. свойство 1) не имеет места и для (3). [Важно, что при этом *1, ..., хп_1 ие могут быть одновременно нулями — иначе последнее из уравнений (1) приводило бы к противоречию, так как а„„ Ф 0.]
Обратно, если существуют такие хь .... х'я_ъ которые обращают в нуль все х^, ..., x'n_v то мы потребуем ещё обращения в нуль х'п в последнем из уравнений (1), откуда без труда найдём соответствующее значение хп (так как апп Ф 0). Мы имеем теперь значения хъ которые обращают в нуль
х[> ..., х"п_ь х'п, а следовательно, и х\, ..., х'п.
Далее мы утверждаем: если свойство 2) пмеет место для преобразования (1), то оно иМеет место и для преобразования (3), и обратно.
Снова доказываем, что если свойство 2) не имеет места 'для (1), то оно не имеет места и для (3), и обратно.
Пусть существуют Ьь Ь3,..., Ь„ (из которых одно не равно 0) такие, что
+ ' bnxn = (i (4)
при любых хь ..., хп. Пользуясь (3), можно налисагь:
• •-!-*«-1-^-1 = Mi+•• 1-*я_1-Ь
+ (— Мь — ' • •— bn-lan-h.) аппХ'п-
Сумму, стоящую в скобках, мы можем заменить через Ьпапп; чтобы убедиться в этом, достаточно написать (4) в том частном случае, когда
= ... =*„-1 = 0, хп=\.
В результате всё выражение совпадает с левой частью (4)
и, следовательно, обратится в нуль. Следовательно, для преобразования (3) свойство 2) тоже не имеет места (все Ьь ..ft„_j не могут равняться нулю, так как иначе ЬпФ 0 и из (4) следо-
470 примечания [67]
вало бы х'а = 0 при любых xh_________ хп; но это невозможно, так
как апл ф 0).
Обратно, еслн существуют такие Ьх, ... ,6„_i (не все равные нулю), что
и \ г и " п
Ь\х\ 4- ¦ • • 4- Ьп_1хп_1 — 0
при любых л'1.......хп-1, то, вставляя сюда выражения (3), получим зависимость вида (4) между х'х, ...,х'п.
Наконец, докажем, что если свойство 3) (обратимость) имеет место для преобразования (1), то оно имеет место и для преобразования (3), и обратно.
Дополнительно к элементам хх, ..., х"а j, определяемым формулами (3), введём ещё х"п по формуле
" I / с \
ха = хп. (5)
Преобразование х[........х'п в х[, ...,х"п,очевидно, обратимо:
достаточно в (3) заменить х'п через х"п и выразить х[,..., x'n_v
Отсюда вытекает, что обратимость преобразования х в х' равносильна обратимости преобразования х в х" (так как наложение двух обратимых преобразований Даёт, очевидно, преобразование обратимое).
