Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
д: =r a0f 4- дт0, )
^=Ь</4-Уо, / ( )
и точка (Х[, vi) вне этой прямой. Пусть через эту точку проведена пока неопределённая прямая
дг = a-jt' -I- дг1( у = bit' 4-.У1*
ПРИМЕЧАНИЯ [67—6.8]
475
Ищем точку пересечения прямых, т. е. такие значения t и ?, при которых
хг — Xq — afjt — ait',
У1—У0 =t0t—bit’.
Будем рассматривать эти формулы как запись преобразования над t, ? (частный случай свойства 1). Возможны два случая.
Пусть свойство 3) имеет место; тогда преобразование обратимо, и по левым частям мы однозначно находим t, ?, и следовательно, точка пересечения существует.
Пусть теперь свойство 3 не имеет места; значит, и свойство 1 не имеет места, и можно подобрать такие значения t0, tQ, отличные от нуля, что
a0t0 — — О,
— bit^ — 0.
Другими словами, ах, получаются из а0, Ь0 умножением справа на одно и то же число P = tglt0.
Если pf обозначить через t и рассматривать в качестве параметра, то уравнения второй прямой примут вид:.
x = a0t + xi, \ -
У=Ь^+У1. /
Таким образом, в рассматриваемом случае уравнения второй прямой могут быть приведены к вполне определенному виду (14), а следовательно, такая прямая — единственная.
Остаётся показать, что уравнения (14) дают прямую, параллельную (13) (существование'Параллельной). В самом деле, если бы эти прямые имели общую точку, то и все их точки были бы общие, так как вдоль обеих прямых изменению параметра на \t отвечает изменение х и у одинаково на айЫ и b0&t. Между тем (Xi,уЛ лежит на второй прямой, но не лежит на первой.
Аксиомы 13, 18-проверяются совершенно очевидным образом.
Р58] Картина станет совершенно ясной, если мы воспользуемся ¦ параметрическим представлением прямой (7) из предыдущего примечания:
x = at-\- лг0, у — bt -\-уо,
*-ct-1- г0.
В силу законов 15 и 16 § 13, имеющих место в дезарговой числовой системе, монотонному изменению параметра t будет отвечать монотонное изменение каждой из координат х, у, г (за исключением тех из них, которые остаются вообще постоянными: например, х в случае в = 0). Таким образом —как доказывается
476
ПРИМЕЧАНИЯ [68—71]
ji в тексте—монотонное.изменение координат вдоль прямой имеет место всегда одновременно. . • .
Согласно тексту, точка называется лежащей между двумя другими точками (на данной прямой), если каждая её координата имеет промежуточное значение между соответствующими координатами двух-других точек (речь идёт о координате, не являющейся постоянной вдоль прямой). Мы можем то же самое формулировать для параметра t; смысл от этого не изменится ввиду одновременности монотонного изменения параметра и координат.
Итак, точка лежит между и /j, если либо h<h< h, либо <i >: > h-
Аксиомы IIi_s проверяются теперь совершенно тривиальным образом. Что же касается аксиомы 114, то плоскость, в которой её нужно проверить, всегда можно считать плоскостью г = 0 (см. предыдущее примечание, проверка аксиомы IV*).
Соо1ветствующее рассуждение явится почти дословным повторением примечания [я1*]. Разница будет только в том, что теперь координаты х;у и'коэффициенты уравнений у нас не элементы коммутативного поля й, а элементы дезарговой числовой системы; в частности, порядок множителей — остающийся таким же, как и в формулах примечания [37] — теперь для нас будет существенен. В остальном рассуждение повторится .без изменении.
[69] То обстоятельство, что исчисление отрезков совпадёт с исходной системой D, строго говоря, требует ещё проверки, которая; впрочем, выполняется без труда.
р] Другими словами: первоначально заданная плоская геометрия, в силу теоремы 55, допускает аналитическую геометрию иа основе некоторой дезарговой числовой системы.
Вновь построенная плоская геометрия точек (д:, у, 0) по самому Построению Допускает аналитическую’ геометрию на основе той же дезарговой числовой системы.
Сопоставляя в обеих геометриях точки с одинаковыми координатами (х, у), мы и приходим к искомому взаимно однозначному соответствию, сохраняющему все соотношения между, элементами.
[71] Таким образом, глава VI является продолжением главы V и вместе с ней носит, по существу, проективный характер. А именно —добавляя к рассматриваемому пространству (определённому аксиомами I, II, IV*) несобственные элементы, мы превращаем его в проективное (см. примечание [60]); обратно, наиболее естественно смотреть на исходное пространство как на Часть этого проективного пространства, которая остаётся, если удалить из последнего одну плоскость (принимаемую за несобственную).
Так же, как и в главе V, в основе всех рассуждений лежит дезаргово исчисление отрезков, построенное согласно § 24.
