Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
[/»+/>' + ... + />*]=[Q + Q» + . .. + <?"] можно переписать в виде:
[Р\ + [/*•] + ¦¦• + IP"} = [Q] + [<?'] + ¦•¦ + [<?"]•
Р9] Обращаем внимание читателя на различие между аксиомами IV и IV*. Как аксиома IV, так и аксиома IV* отрицают возможность провести через данную точку А более одной прямой, не пересекающейся с данной прямой (всё происходит в данной плоскости а). Но аксиома IV* утверждает, кроме того, что одну такую йрЯмую всегда можно провести; аксиома IV такого утверждения не содержит. Дело в том, что раньше, когда у нас имелись аксиомы конгруентности, это утверждение доказывалось; теперь же это утверждение доказать невозможно, и его приходится принять за аксиому.
[60] Вся V .глава относится к геометрии, построенной иа аксиомах I, II, IV*, т. е. по существу—к проективной геометрии, лишённой лишь, в согласии с общим ходом идей автора, аксиом непрерывности. Мы должны здесь вскрыть проективный характер рассматриваемой геометрии, так как иначе появление теоремы Дезарга не будет достаточно отчётливо мотивировано.
Заметим прежде всего, что из аксиомы IV* вытекает, что две прямые, параллельные, третьей, параллельны между собой (под параллельным прямым мы понимаем здесь прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек).
Лемма 1. Пусть из трёх прямых а, Ь, с прямые а и b лежат в плоскости у, b и с — в плоскости а, с и а в плоскости J (где а отлично от ji). Тогда, если а и b имеют общую точку С, то эта точка принадлежит и с.
Прежде всего f отлична от а и от [1: если бы у совпадала с а, то эта плоскость содержала бы прямые а и с и (по теореме 2) совпадала бы с ji.
460 ПРИМЕЧАНИЯ [60]
Общая точка С прямых а и ft принадлежит тем самым всем трём плоскостям а, р, f, но плоскости a, ji имеют общую прямую с и вне её общих точек не имеют (теорема 1). Следовательно, С принадлежит и с.
Лемма 2. Если из трёх прямых а, ft, с а\\Ь,а\\с, то и ft || е.
Обозначим через ^ плоскость (a, ft) н через [i — плоскость (а, е). Если -у и [1 тождественны, то ft и с лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — иначе, вопреки аксиоме IV*, к прямой а через эту точку были бы проведены две параллели. Следовательно, ft || с.
Если у и р различны, то через с и произвольную точку В на Ь проводим плоскость (теорема 2), которую мы обозначим а (точка В не принадлежит с — иначе ft и с совпали бы по аксиоме IV*). Плоскости а и f различны (иначе с лежала бы в у и Р совпадала бы с -j). Обозначим через ft' их общую прямую [так как а и y имеют общую точку В, то они имеют общую прямую (теорема 1)].
Если бы ft' была отлична от ft, то, по аксиоме IV* (единственность параллели), ft' имела бы общую точку с а; но тогда, по леммЪ 1, эта точка принадлежала бы и с, что невозможно,' так как а \\'с.
Итак, ft' совпадает с ft, а значит, ft и с лежат в одной плоскости а. Если бы ft и с пересекались, то, по лемме 1, через ту же точку проходила бы прямая а, что невозможно. Итак, ft || с.
Будем называть связкой параллелей совокупность всевозможных прямых в пространстве, параллельных данной прямой; по лемме 2, все прямые связки параллельны между собой.
Мы не останавливаемся иа изложении теории параллелизма между прямой, и плоскостью и между двумя плоскостями, так как она без труда может быть развита так же, как и в обычной стереометрии, но уже с полной строгостью, в результате ссылок на аксномы I и IV*.
Переходим теперь к построению проективного пространства. Сопоставим каждой связке параллелей новый элемент пространства, который мы будем называть несобственной точкой. Несобственные точки мы будем считать тождественными тогда и только тогда, когда тождественны определяющие их связки параллелей.
Определение. Мы будем говорить, что несобственная точка принадлежит данной прямой тогда и только тогда, когда эта прямая входит в соответствующую связку параллелей’.
Таким образом, теперь можно сказать, что все прямые параллельной связки имеют общую несобственную точку.
Определение. Мы будем говорить, что несобственная точка принадлежит данной плоскости тогда и только тогда, когда эта плоскость параллельна прямым соответствующей связки параллелей (т. е. когда на плоскости можно указать пучок параллелей, входящий в связку).
ПРИМЕЧАНИЯ [60]
461
Таким образом, на данной плоскости лежит бесчисленное множество несобственных точек, по одной для каждого пучка параллелей иа этой плоскости.
Определение. Совокупность всех несобственных точек, принадлежащих данной плоскости, мы будем называть несобственной прямой, принадлежащей данной плоскости.
Очевидно, параллельные плоскости имеют все несобственные точки общими, а следовательно, имеют общую несобственную прямую.
Определение. Совокупность всех несобственных точек мы будем называть несобственной плоскостью (которая будет, таким образом; единственной).
Построение проективного пространства закончено: под ним мы будем понимать совокупность точек, прямых и плоскостей как прежних (собственных), так и вновь построенных (несобственных), рассматриваемых без различия друг от друга.
