Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Черт. 31. торой мы произвольно выбрали «правую» и «левую» полуплоскости. Для всех остальных прямых Ь, пересекающих а, мы определяем «правую» и «левую» полуплоскости, требуя, чтобы а и Ь были согласованы
Примечания [56]
457
(если полупрямая Ь, следующая за О, лежит «слева» от а, то из двух полуплоскостей, определяемых Ь, мы назовём «правой» ту, которая и содержит полупрямую а, следующую за О).
Те прямые с, которые не пересекаются с а, наверное пересекаются с некоторыми прямыми Ь; для таких с мы устанавливаем «правую» и «левую» сторону путём согласования с какой-нибудь прямой Ь, с которой данная прямая с пересекается.
Для того, чтобы убедиться, что теперь любые две пересекающиеся прямые окажутся «согласованными», достаточно доказать, что «согласованность» есть свойство транзитивное: две прямые, «согласованные» с третьей, «согласованы» и между собой.
Действительно, отсюда немедленно вытечет, что любые две пересекающиеся прямые Ь «согласованы» между собой; затем, что прямая с, будучи «согласована» с одной из пересекающих её прямых Ьъ будет «согласована» с любой другой пересекающей её прямой Ь2 (если нужно, сначала обнаружим «согласованность» с с вспомогательной прямой ft3, а затем уже с Ь2 (черт. 32). Наконец, любые две пересекающиеся прямые съ сг согласованы между собой. Действительно, пусть «согласована» с Ьь a (g — с Ь2. Тогда С] «согласована» с ft3 и с2 с Ь4 (черт. 33). Так как 2>3 и ЬА всегда «согласованы» между собой, то С] и с2 тоже «согласованы».
Итак, докажем транзитивность «согласованности».
Пусть три прямые а, Ь, с попарно пересекаются.
Если а согласовано с Ь и с с, то b и с согласованы между собой.
1-й случай: а,Ь,с образуют треугольник ABC (черт. 34). Для определённости считаем, что направления на а,
Ь,с Суть ВС, СА, АВ (от замены направления прямой на обратное «согласованность» не нарушается). Пусть точка А лежит хотя
458 примечания [56—57]
бы «влево» от а. Тогда полупрямая ft, следующая за С, также лежит «влево» от а, а значит (в силу «согласованности») полупрямая а, следующая за С, лежит вправо от ft. Тем самым точка В, предшествующая С на а, лежит на другой полупрямой а, т. е.
4 --*
влево от ft. Полупрямая с, следующая за А, т. е. АВ, лежит тем самым влево от ft.
Теперь проводим аналогичное рассуждение, исходя из полупрямой с, следующей за В и лежащей, следовательно, вправо от а. В силу «согласованности» полупрямая а, следующая за В, лежит «слева» от с, точка С тоже «слева» от с, и полупрямая
ft, следующая за точкой А, лежит «справа» от с.
Сопоставляя подчёркнутые результаты, мы. убеждаемся в «согласованности» прямых ft и с.
2-й случай. Прямые a, ft, с '* пересекаются в одной точке
* (черт. 35).
Пересекаем a, ft, с четвёртой пря-Черт. 35. мой d, не проходящей через их об-
щую точку, и «согласуем» прямую d с а. В силу 1-го случая, d окажется «согласованной» и с ft и с
с, а следовательно, ft и с будут «согласованы» и между собой.
[56а] На стр. 127, в начале § 17, указывалось, что исчисле-
ние отрезков (взятых с их знаками) подчиняется правилам 1—16 § 13, в частности коммутативному и ассоциативному за-
конам для сложения. Пользуясь этими законами, можно перегруппировать слагаемые в правой части так, чтобы в первую очередь происходило сложение отрезков, отличающихся друг от друга только знаками, в результате чего эти отрезки выпадут из суммы.
Ссылка на дистрибутивный закон, встречающаяся в доказательстве, позволяет нам заключить, что когда основание одного треугольника есть сумма оснований двух других треугольников, а высоты у всех трёх конгруентны, то мера площади первого треугольника — как половина произведения основания на высоту — есть сумма мер площади для двух других треугольников.
[54] В самом деле, если у нас имеется два разбиения данного многоугольника Р на треугольники, то, как было показано при доказательстве теоремы 53, можно построить его третье разбиение на треугольники, являющиеся подразбиением каждого из первых двух. Возьмём сумму мер площади треугольников третьего разбиения и все слагаемые разобьём на группы так, что слагаемые каждой группы отвечают треугольникам, входящим в один и тот же треугольник первого (второго) разбиения.
ПРИМЕЧАНИЯ [57—60]
459
По теореме 50 каждая группа слагаемых даёт меру площади треугольника первого (второго) разбиения, а полная сумма даёт сумму мер площади треугольников первого (второго) разбиения. Таким образом, сумма мер площади треугольников первого и второго разбиений, равна одному и тому же отрезку.
[68] Ссылка на теорему 50 является излишней, и равенство мер площади для многоугольников, равновеликих по разложению, следует непосредственно из определений.
Из определения меры площади многоугольника непосредственно следует также, что мера площади составного многоугольника (см. примечание [51]) равна сумме мер площадей составляющих многоугольников. Это обстоятельство используется в следующем абзаце текста, где подразумевается, что равенство
