Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 154

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 148 149 150 151 152 153 < 154 > 155 156 157 158 159 160 .. 169 >> Следующая


KL < PQ. (1)

Соединим точки Р и С отрезком и применим доказанное выше утверждение дважды: к треугольнику ВРС и отрезку PQ и к треугольнику ABC н отрезку СР. Мы получим:

PQ < РВ или PQ < СР (2)

и

СР<СВ нли №<а (3)

(Знак равенства имеет место в том случае, когда прямая Afi проходит'через.вершниу А, т. е. когда точки Рл А совпадают.) Из неравенств (1), (2), (3) и неравенства

РВ^АВ (4)
ПРИМЕЧАНИЯ [54—56]

455

следует справедливость одного из следующих трёх неравенств: KL < АВ, или KL<AC, или KL <ВС.

[М] Из теоремы 46 следует, что всегда можно найти прямоугольный треугольник, равновеликий по дополнению данному треугольнику ABC. Чтобы доказать, что этот последний равновелик по дополнению прямоугольному треугольнику, один из катетов которого равен 1, отмечаем иа стороне СА отрезок СЕ— 1 и из точки А проводим прямую AM параллельно BE (черт. 30). По теореме 46 треугольники БЕМ и ВЕА равновелики по дополнению. Так как треугольник ABC составлен из ВСЕ и ВЕА, а треугольник СЕМ — из ВСЕ и ВЕМ, то по теореме аддитивности аь (примечание [6г]) треугольники ABC и СЕМ равновелики по дополнению.

В случае СА < 1 расположение чертежа будет несколько иное.

[65] Здесь подразумевается построение- нового- прямоугольного треугольника, один катет которого равен 1,-а Черт. 30.

другой равен сумме катетов, отличных от

1 в прежних прямоугольных треугольниках. Этот второй катет нового треугольника мы примем за его основание, которое представляет собою, следовательно, сумму оснований прежних прямоугольных треугольников. Разобьём новый треугольник отрезками, соединяющими вершину с точками деления основания. Полученные треугольники разбиения, по теореме 46, равновелики по дополиению прежним прямоугольным треугольникам, а следовательно (теорема 43), н треугольникам, на которые разбит исходный простой многоугольник.

По теореме аддитивности (примечание [53]) отсюда следует равновеликость по дополнению исходного многоугольника и построенного нами прямоугольного треугольника.

[••] Уточним всё сказанное.

Будем называть прямую направленной, если для любых «ё двух точек указан порядок их следования, например А, В. Этот порядок должен удовлетворять следующему требованию.

Еслн В следует за А и С следует за В, то 1) С следует за А,

2) В лежнт между А и С.

Мы утверждаем, что на прямой однозначно определится направление в этом смысле, если •указать произвольно две точки, иапример L и М, и потребовать, чтобы М следовала за L.
456

ПРИМЕЧАНИЯ [56]

В самом деле, если взять после этого две какие-нибудь точки А, В то, по теореме 6, точки A,B,L,M можн'о последовательно записать так, чтобы эта запись отвечала их геометрическому расположению (в смысле соотношения «между»). Потребуем, кроме того, чтобы в этой записи точка М следовала за L. Тогда запись определится вполне однозначно, и порядок следования точек А, В в этой записи мы и примем за порядок - следования этих точек на прямой.

Нетрудно проверить соблюдение требований 1) и 2). Для этого достаточно провести аналогичную запись для 5 точек А, В, С, L,M и использовать свойства этой записи, известные по теореме 6. Следует иметь в виду, что если из записи вычеркнуть, например, точку С, то мы получаем прежнюю запись для 4 точек, так что порядок следования точек А, В не меняется от того, что в записи участвуют дополнительные точки.

Точки, следующие за данной точкой О направленной прямой, образуют, очевидно, полупрямую (луч). В дальнейшем под прямыми мы понимаем направленные прямые.

Введение ориентации на плоскости можно теперь осуществить следующим образом. Для каждой прямой на плоскости мы присвоим одной из двух полуплоскостей, образуемых этой прямой, наименование «левая», а другой — «правая». При этом при замене направления на прямой на обратное мы условимся эти наименования переставлять между собой.

Будем говорить, что плоскость ориентирована, если выбор «правых» и «левых» полуплоскостей будет согласован в нижеследующем смысле: всякий раз, когда две прямые а, Ь пересекаются в какой-нибудь точке О, и полупрямая а, следующая за О, лежит «справа» от Ь, то полупрямая Ь, следующая за О, лежит «слева» от а, н наоборот (черт. 31).

Мы будем говорить коротко, что две пересекающиеся прямые а и Ь «согласованы», если выбор «правых» и «левых» полуплоскостей для них удовлетворяет указанному требованию. Очевидно, «согласованность» не нарушается при замене направления на одной из прямых на обратное (следует помнить, что «правая» и «левая» сторона при этом меняются местами).

Наша задача состоит в следующем. Выбрав для какой-нибудь одной прямой а «правую» н «левую» полуплоскость произвольно, показать, что для всех остальных прямых это можно сделать так, чтобы любые две пересекающиеся прямые былн «согласованы». u . Пусть а будет исходная прямая, для ко-
Предыдущая << 1 .. 148 149 150 151 152 153 < 154 > 155 156 157 158 159 160 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed