Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ассоциативный закон для определённого таким образом умножения выражений rsV проверяется без всякого труда.
Пусть даны теперь выражения S и S', составленные, как мы знаем, из членов вида rs^f- Произведением 5 на S' мы назовём выражение S", составленное из членов того же вида, полученных умножением каждого члена 5 на каждый член S' (с последующим объединением подобных между собой членов, которых, как легко видеть, будет каждый раз лишь конечное число). Другими словами, если
5= S г^Г’
И’ ^ «
V ^ п
mf
S
IX". > /П*
V* > n" m
то соотношение S" —SS' означает, что
V»*= 2 'ihV,!2’1*'; = (A)
(I + ft"
V V* = V*
480
примечания [73—74]
Все законы 1—4 и 6—11 проверяются в области выраже-ний S совершенно тривиальным образом; остановимся только на законе 5, т. е. на возможности н единственности деления. А именно: если в формулах (А) считать /•*„,„ и /• v известными, То г’,у, мы сможем из них последовательно определить.
Прежде всего, необходимо принять т' ~т" — т. Используем формулы (А) при наименьшей значении ц", ц." = т". Тогда справа необходимо положить ft = /«, ц’— т’. Полагая последовательно »"= п"т„, пт,, -)-1, •. •, мы последовательно определим из формул (А) ¦гтЧ, при
- ч' = пт„ (полагая п'т, = пт„ — пт).
Далее, используя (А) при = и полагая
У".— п"т"+1, пт"+1 + последовательно определим rm _j_ l v,
прн * = пт,^,
Так же поступаем при ц" =/я"-J-2 и т. д. Все коэффициенты г^,у, определяются однозначно.
[’4] Наиболее естественный вид принимает теорема 61 в проективном её истолковании. А именно, пусть рассматриваемая нами плоская геометрия с аксиомами Ij„3, II, IV* дополнена несобственными точками (новые элементы, сопоставляемые взаимно однозначно пучками параллелей) и несобственной прямой {совокупность всех несобственных точек). Возникает некоторая проективная геометрия (лишённая аксиом непрерывности). Две прямые в ней всегда имеют одну общую точку (параллели — Несобственную).
Не различая в дальнейшем собственных и несобственных точек, дадим проективную формулировку теоремы Паскаля-Паппа: , .......
Если точки Аг, А3, Аь расположены, на одной прямой а, а точки А2, А4, Ае — на другой 'прямой а', то точки пересечения прямых; АгА2 и AtAb, АгА$ и Л5/46, A3At и АвАг лежат на одной прямой. ¦
В частности, еейи'прямые в и о' имеют собственную общую точку, а две из названных точек пересечения лежат на несобственной прямой, то, в силу' теоремы, третья точка пересечения также лежит на несобственной прямой. .Мы приходим, очевидно, к теореме 40, т. е. к' теОреме Паскаля в том смысле, как она понимается в тексте.
Допустим теперь, что в нашей геометрии имеет место теорема Паскаля-Паппа в проективной формулировке. Мы утверт ждаем — и в этом состоит теорема 61 в проективной формулировке,— что теорема Дезарга может быть тогда доказана.
Теорему Дезарга мы берём здесь.тожевобщей проективной формулировке (см. примечание [60J). Необходимо отдавать себе
ПРИМЕЧАНИЯ [74—76]
481
отчёт, что буквальный смысл теоремы 61 в тексте и в проективной формулировке не один и тот же, так как у нас усилены и условие и заключение теоремы.
Что же касается доказательства, то оно становится теперь вполне простым. Прежде всего, прямая и обратная теоремы Дезарга становятся тождественными, так как обе они сводятся к одной формулировке: если даны 10 точек и 10 прямых и если имеют место все принадлежности точек прямым, свойственные конфигурации Дезарга, за исключением, может быть, одной принадлежности, то и зта последняя имеет место.
Опираясь на полное равноправие всех точек и' прямых в конфигурации Дезарга, нетрудно подметить, что эта формулировка следует как из прямой, так и из обратной теоремы Дезарга (равно как и эти предложения следуют из неё).
Желая доказывать теорему Дезарга не меняя терминологию текста, мы можем условно одну из прямых рассматриваемой конфигурации называть несобственной, а прямые, пересекающиеся в её точках, называть параллельными. Тогда мы можем повторить рассуждения текста и пользоваться чертежом 78 (в тексте), подразумевая, что в конфигурацию входит и несобственная прямая, в точках которой пересекаются имеющиеся на чертеже параллели.
В доказательстве произойдёт упрощение в том смысле, что теперь достаточно обеспечить, чтобы А'С' не было параллельно ОВ'. Остальные ограничения были нужны только для того, чтобы в процессе доказательства при ссылках на теорему Паскаля получать прямые AxAgAs и не параллельными,
а пересекающимися в собственной точке (что предполагается в теореме 40). Но в нашей проективной формулировке эти случаи не различаются и соответствующие оговорки излишни. Что же касается непараллельности А'С' и ОВ', то её всегда можно добиться, рассматривая в качестве А'С' и ОВ' либо А'В' и ОС', либо В’С и ОА' (в последнем случае придётся вместо треугольника ABC рассмотреть ABC", где BC"\\B'C'iii С" лежит на ОС'; после проведения доказательства окажется, .что A'C'WAC", а следовательно, С" совпадает с С). Как легко показать, параллелизм одновременно во всех трёх случаях невозможен.
