Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
32 д. Гильберт
484. примечания [79]
Рассмотрим R(Pi,---,Pr) — поле рациональных функций от р1,...,рг, порождаемое координатами данных точек. К этому полю принадлежат координаты данных точек. Построим, начиная с R, последовательность полей так, что каждое последующее заключает предыдущее:
(1)
причём каждое последующее получается нз предыдущего путём приобщения одного квадратного корня. Более точно: еслн Rt уже построено (R мы рассматриваем как R0), то Rt+i строится так': из Rt выбирается какой-нибудь элемент ft такой, что Уft не входит” в Ri, и в качестве Rt+i берётся совокупность всех выражений, рационально составленных из Vft с коэффициентами из Rt. Так как чётные степени от YTt можно при этом отнести к коэффициентам (илн свободным членам), то полиномы от У/i можно свести к линейным выражениям; общий вид элемента из Rt+j будет: _
ai+-hVft V + ilVft ’
где , а/, Р/, fi, —элементы нз Rt. Уничтожая в знаменателе иррациональность обычным образом, мы получаем окончательно общий вид элемента из'/?/+1:
at+1 — at~\-bl (2)
где а-i и bj—произвольные элементы нз Rt.
Очевидно, в результате такого процесса можно притти к полю Rn, заключающему коэффициенты любой наперёд указанной точки, которую можно построить циркулем и линейкой, исходя из данных точек. .
Смысл теоремы 64 заключается в том, что если речь идёт, в частности, о построениях при помощи линейкн и эталона д л и н ы, которые представляют более узкие возможности, чем лииейка и циркуль, то соответственно ограничивается и произвол описанного процесса. А именно, при каждом расширении;'превращающем поле Rt в поле Ri+j, элемент ft из Rt разрешается брать не каким угодно, а лишь при условии, что ft есть сумма крадратов некоторых элементов из Rt.
3. Возвращаясь к общему случаю, возьмём какой-нибудь элемент ап из поля Rn — последнего поля последовательности (1).
Применяя формулу (2)" получим:
ап~ an—i ^п—1 Уfп—\ •
Применяя формулу (2) к элементам. ап_ь bn_v получим:
an = ап-л-2 + Ьп—2 Уfa-2 + (ап~2.")“ Ьа—2 Уfп—2> Уfn—1 •
ПРИМЕЧАНИЯ [79]
485
Продолжая этот процесс, мы получим, наконец, для ап выражение, линейное относительно каждого из корней
в отдельности, с коэффициентами из исходного поля /? (1,/^,.. .,рп). Мы это запишем так:
Нужно помнить при этом, что под знаком каждого из корней V fi стоит выражение аналогичным образом составленное посредством корней
Ул.-..., Vii-v
Легко подсчитать, что число членов в выражении (4) равно 2я; 2” коэффициентов суть элементы поля /?(1, рь ..., рг).
Будем считать теперь, что координаты исходных точек не зависят от произвольных параметров, в частности, что рь ..., рг получили действительные численные значения. Тогда в процессе построения полей (1) можно подразумевать, что каждому корню Vfi приписано вполне определённое нз двух его значений; поэтому и выражение ап, записанное, как указано выше, будет вполне определённым числом. Исходное поле R содержит только действительные числа.
Допустим теперь, что в выражении (4) мы позволим себе брать знак У/0 по произволу; когда выбор сделан, подкоренное выражение Д вполне определится, знак же у У f\ мы также возьмём по произволу; когда выбор сделан, подкоренное выражение /2 вполне определится, знак же у У/2 • мы возьмём по произволу и т. д. -
Очевидно, мы получим, таким образом, 2" - выражений, так как каждому корню отвечают два возможных значения. Мы будем считать, что полученные таким образом числа все различны между собой: можно показать, что в противном случае элемент ап мог бы быть достигнут посредством присоединения меньшего числа квадратных корней, чем п.
Эти 2« чисел, в число которых входит и а , мы будем называть сопряжёнными с ап относительно исходного поля R
У/о. У/i, Vfb •• . У/,-1
(3)
ап — йв "Ь ьо У/о 4- Ьй YTi 4- • • • 4-“Ь со У/о У/i 4- У/о У/* 4- • • 4-¦+• do У/о У/i У7s 4- • • • 4- h У/о • • • У/,,-1- (4)
(5)
Мы утверждаем, что эти числа представляют собою корни одного и того же алгебраического уравнения степени 2” с к о аф-фициентами из исходного поля R. ' ,'i ¦ . ;
486
ПРИМЕЧАНИЯ [79]
Будем считать в формуле (4), что значение каждого из встречающихся в ней корней выбрано —из двух возможных — произвольно, но, разумеется, одинаково во всех случаях, где этот корень встречается, в том числе и под знаками другвх корней. Тогда (4) может выражать не только ап, но и любое из сопряжённых ему чисел.
Возводим (4) в квадрат; после замены квадратов корней их выражениями через корни меньшего номера, что делается вполне определённым образом, мы получим выражение того же типа, коэффициенты которого суть также определённые элементы исходного поля R (очевидно, совершенно не зависящие от выбора
