Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
ПРИМЕЧАНИЯ [71-—72]
477
Особенностью главы VI'является введение акскомы Архимеда, которую мы в главе V игнорировали, и выяснение её роли. Но формулировка аксиомы Архимеда требует откладывания данного отрезка от данной точки; ввиду отсутствия понятия конгруентности, этому построению приходится придать новый смысл. При наличии дезаргова исчисления отрезков это удаётся сделать для.отрезков, располагающихся на одной прямой. A-именно—примем данную прямую за одну из двух осей исчисления отрезков и через О обозначим точку пересечения осей. Исчисление устанавливается для отрезков О А, где А — произвольная точка оси <§ 24).
Чтобы отложить отрезок АВ от точки А\ в смысле исчисления отрезков, мы поступаем так (всё построение происходит на одной прямой, принятой за ось исчисления). Находим разность отрезков ОВ и ОА, т. е, такой отрезок ОС, что
ОВ = 0/4-)- ОС.
Существование и единственность отрезка ОС следует из очевидного обращения операции сложения.
Строим теперь отрезок ОВ''.
ОВ' = ОА' 4- ОС.
Про отрезок А'В' мы и будем говорить, что он равен отрез-К у АВ в смысле исчисления отрезков.
По буквальному смыслу такое откладывание зависит не только ot выбора на данной прямой самого отрезка и точки, от которой он должен быть отложен, но и от выбора второй оси исчисления, в частности, от выбора точки О. Одиако можно было бы доказать, что операция сложения отрезков иа дайной оси (определённая согласно § 24) от выбора второй оси и точки О не зависит, так что откладывание отрезков на данной прямой есть построение, вполне однозначно определённое. При доказательстве нужно использовать теорему Дезарга,
р] Автор хочет сказать, что если из чисел а, Ь, для которых аЪ ФЪа
число а < 0, то вместо него нужно рассмотреть (—в), т. е. число, определяемое из уравнения
(—а)4~я = 0.
Тогда из а < 0, согласно правилу 15 § 13, следует а-М— a)<0-f-(— а), т. е. 0<(— а).
Из (—а)4-а = 0 следует (правила 10 и 11):
Ь(—а)4-&а = 0 и (—a)b-[-ab = Q, и из аЪ Ф Ъа следует теперь (от противного)
(—а)ЪфЬ(— а).
478 примечания [72 —73]
Аналогично, если Ь < 0, мы вместо него рассмотрим (—6)>0. Итак, если для какой-то пары чисел системы D коммутативный закон неверен, то можно указать и пару положительных чисел, для которых этот закон неверен.
р] Уточним данный в тексте набросок доказательства.
Прежде всего заметим, что совокупность выражений- Т (с присоединением 0) представляет собою поле.
Пусть даны выражения Т:
Т = г^п -|- Г]/"+1 + • • • ¦ (1)
T'=r'0tn' +r[ta'+1 + ... (2)
Подчеркнём, что речь идёт о формально написанных степенных рядах без всяких предположений об их сходимости.
Сумму T-f-T' мы определяем как выражение того же типа, полученное объединением подобных членов в Г и Г'. Произведение мы определим по формуле:
ТТ’ = r0r' t» + »' + (гоК + г, г0) *п++1 4-
4- (г0г'4-г1г1'+г^)/п+л'+2+ ... (3)
Заметим, что при п~ 0, го=1, г1 = г2 = ... = 0 выражение (1) представляет собой единицу.
Покажем возможность и единственность деления (остальные законы 1—4 и 6—12 из § 13 проверяются совершенно тривиальным образом). В самом деле, еслн нам даны:
T" = r"0tn"+rltn"+1 + ...,
r=r^ + ritn+l +
то всегда можно найти — и притом единственным образом — такое Т’
Г = г
что
р, __ 'р’р! Т'Т
Для этого достаточно, как показывает (3), взять п’ — п" — п, а затем определять г0, г^, г2, • • последовательно из формул
» 9
г o = Vo.
п г , t
ri-roTi + Vo,
r2 ~ r0r2 rlrl “Ь r2r0 *
Так как го Ф 0, то это не представляет никаких затруднений.
ПРИМЕЧАНИЯ [73] 479
Рассмотрим теперь выражение типа S. Оно представляет собою — если вместо Т0, подставить их выражения — фор-
мально записанный бесконечный ряд,. состоящий из членов
вида rsff, где г—рационально, а ц и v— целые числа (^0 ^ ,
причём цЗгот, a при данном («(здесь —младший
показатель ряда Т^п).
Сумма двух выражений типа S определяется путём объединения их подобных членов, т. е. путём сложения коэффициентов г при одинаковых sH4 в обоих рядах.
Прежде чем переходить к перемножению выражений типа S, определим произведение двух выражений вида r^v. Это произведение мы будем определять формулой:
= (2V|iVr’)^+|iV'+v/-
Нетрудно видеть, что эту формулу можно было бы вывести из закона
ts — 2 st,
но мы предпочитаем дать её как определение, чтобы избежать утомительных рассуждений, связанных со строгим обоснованием этого вывода. Очевидно, что закон ts = 2st есть частный случай нашей формулы, так что она во всяком случае даёт нам то, что нужно.
