Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Допустим, что зависимость х" от х обратима. Как мы знаем, х\......хп-\ выражаются линейно через хг.........х„_1; хп выражается линейно через xi............................х„. Пусть для последнего
преобразования существует обратное. Мы утверждаем, что в обратном преобразовании хj........xn-i выражаются только через
х\, ..., x"n_v Действительно, еслн бы в выражение для хг (например) вошло х'п с неравным нулю коэффициентом, то мы получили бы противоречие, положив
хг— ... ==А-„_г = 0, хп~ 1.
В самом деле, тогда, согласно (3),
jfj = ... — = 0, хп = хп = апп ф 0,
и выражение для хх будет сводиться к отлйчиому от нуля члену, содержащему хп. А это противоречит тому, что xt — 0.
Итак, существование обратного преобразования для преобразования Ху ..., хп в х'[, ... , х"а влечёт существование обратного преобразования и для преобразования .................... , в
Jt ft П 1
•*1 > • • •> хп-Г
Совершенно очевидно, что обратное утверждение тоже верно.
ПРИМЕЧАНИЯ [67]
471
Итак, обратимость преобразования xv ...,лгл_1 в х",... .x"r_i
равносильна обратимости преобразования х1.......хп в х\, ... , х"п,
а последнее равносильно, как было доказано выше, обратимости преобразования .........хп в дг^, ... , х'п.
Наше утверждение доказано.
Теперь, так как справедливость каждого нз утверждений 1), 2), 3) для преобразования (1) вле^ётаа собой справедливость его
и для преобразования (3) н обратно, н так как для преобразо-
вания (3) эти три утверждения эквивалентны (теорема предполагается доказанной для л —1 элементов), то и для преобразования (1) эти утверждения будут эквивалентны.
Наша теорема доказана.
Переходим к некоммутативной аналитической геометрии.
Как указано в тексте, точкой называется тройка чисел (дг, у, г) дезарговой числовой системы О, а совокупность точек, лежащих на прямой, определяется парой уравнений внда
и'дг 4- v'y + w'z 4- г' 0, \
п'х 4- v"y 4- w”z 4- г" = 0 /
при условии, что строки матрицы
I! и', V, w'
II и\ v', w''
линейно независимы слева.
Подберём ещё тройку чисел и, v, w дезарговой системы О так, чтобы все три строки были линейно независимы слева (возможность этого показать нетрудно). Обозначим через t линейное выражение их -\-vy -\-wz и запишем:
• г’ ~ и'дг 4- v’y 4- г,
¦ r"~u"x + v"y+w'% t = их 4- vy 4- wz.
¦(60
Можно считать, что мы имеем здесь линейное преобразование, произведённое йад дг, у, г, причём соблюдается свойство 2). В таком случае имеет место и свойство 3), н мы можем вместо написанной системы взять ей эквивалентную систему уравнений, где дг, у, г будут линейно выражены через левые, части. Так как г' и г" — постоянные, то члены с г' и г'' иы объединяем в качестве свободных членов ,дго. Уп, «о и получаем:
дг = а* 4-*о. y-bt 4-у0> Z — ct 4- 20.
(7)
472 примечания [67]
Очевидно, здесь можно давать t любые значения, не теряя возможности вернуться к системе (6'). Следовательно, мы доказали возможность параметрического представления всякой прямой (при этом а, Ь, с одновременно в нуль не обращаются — иначе прн подстановке х, у, г из (7) в (6) мы получнлн бы t = const.).
Обратно, всякое параметрическое представление (7), где й, Ъ,б не равны нулю одновременно, определяет прямую: еслн а Ф О, То нз пербого уравнения:
t= а~1х —
вставляя это выражение во второе н третье уравнения, возвращаемся к системе типа (6).
Злймёмся проверкой аксиом lj и 12. Потребуем, чтобы прямая (7), пока с неопределёнными а, Ь, с, дг0, у<), г0, проходила через две данные точки М\ (а^, У\, гх), М2 (дг2, у2, г2). Всегда можно предполагать, если такая прямая существует, что пара* метр t в точке принимает значение 0—иначе мы ввели бы в качестве параметра t — t\, где — значение ? в Му Можно считать, далее, что в Л12 параметр t принимает значение 1 — иначе мы ввели бы в качестве Параметра t^H, где ?2—значение t в М2. Вид уравнений (7) от этих замен параметра не изменится, хотя коэффициенты станут, конечно, другими.
Вставляя в (7) значения t~0 и t = 1, мы должны получить:
х\ — дг0, > а2 = я 4- дг0,
У1=Уо> Уг = Ъ-\-уй,
г1 — ^0,-¦ *2 =C-f-ZQ, '
откуда дго, уо> *о> а< Ь, с немедленно определяются и притом единственным образом.
Аксиомы Ij и 12 проверены. Аксиома 13, очевидно, имеет место: достаточно в (7) положить t = О жЛ=\.
Проверим аксиомы I* и 15. Пусть Mi(xlt у^ г{), М2(х2,у2,г2), М-з (а3, у3, г3)— три данные точки. Требуется дгайти и, v, w, г так, чтобы
— r--~-ux1~t-vy1~t-wz1, '
