Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
[75] Здесь говорится о действительных числах по недосмотру. На самом деле, мы будем иметь здесь элементы некоторой коммутативной, но (при сделанных предположениях — аксиомы li_3, П, IV* н теорема Паскаля), вообще говоря, неархимедовой числовой системы (например, выражения Т, § 33).
Область элементов исчисления бесконечна уже потому, что включает единицу, а вместе с нею — согласно вычислительным правилам—и все целые и рациональные числа (случай поля ненулевой характеристики устраняется наличием порядка).
31 Д. Гильберт
482
примечания [76—77]
Отсюда вытекает и тождественное обращение в нуль рационального (и с рациональными коэффициентами) выражения -R (ръ ..., рг), если последнее обращается в нуль при подстановке вместо pi,...,pr любых элементов исчисления (в частности, значит, при подстановке любых рациональных чисел).
Итак, пусть теорема о точке пересечения верна. Это равносильно тому, что ряд выражений R(pi,...,pr) тождественно обращается в нуль. Доказательство теоремы сводится, таким образом, к проверке тождественного обращения в нуль выражений R(px.......рг). При этом важно иметь в виду, что непо-
средственно выражение R (рг,... , рг) возникает у нас в результате последовательного выполнения над Р\,... ,рг рациональных операций в сколь угодно сложном нагромождении. Чтобы проверить тождественное обращение R(P\,... ,ГГ) в нуль, мы должны провести ряд выкладок: раскрытие скобок, приведение подобных членов и т. д. Другими словами, мы должны применять законы 1—12 нашего исчисления; но применение этих законов, как выше было указано, геометрически сводится к использованию теоремы Паскаля.
В итоге процесс доказательства теоремы о точке пересечения сводится к использованию теоремы Паскаля (н, конечно, аксиом
Ь-». IV*)-
[,7] Напомним, прежде всего, что в геометрии, опирающейся на аксиомы групп I—IV, справедлива теорема Паскаля и что,
следовательно, в ней можно ввести исчисление отрезков, как это было сделано в § 15, и доказать теоремы 41 и 42.
Докажем теперь предложение Штейнера. Допустим, что PF не параллельна а (черт. 43); пусть PQ будет прямая, параллельная а и пересекающаяся с АЕ, BD, CD в точ-Черт. 43. ках F", Q, F' (это пересечение обя-
зательно имеет место, так как АЕ, BD н CD не параллельны а). Тогда из подобия треугольников ABD и PQD имеем:
PQ:AB= DQ:DB, а из подобия треугольников BCD и QF'D следует:
QF':BC= DQ:DB.
Отсюда, так как АВ—ВС, мы получаем:
PQ = QF. (1)
Из подобия треугольников АВЕ и F"QE и треугольников ВСЕ и QPE имеем:
QF” _ EQ PQ _ EQ АВ ~ ЕВ’ ВС~ ЕВ'
примечания [77—79]
483
откуда, так как АВ = ВС, следует:
PQ — QF". (2)
Сравнивая (1) и (2), получаем:
QF = QF'.
Значит, F* совпадает с F, вопреки нашему предположению, что прямая PQ, параллельная а, не проходит через F (заметим, что F* и F* не могут лежать по разные стороны от Q, так как иначе одна нз них совпадала бы с Р, что невозможно).
[78] Под полем R, порождаемым несколькими данными числами и переменными, мы понимаем совокупность всевозможных выражении, составленных из тех и других путём четырёх рациональных операций.
Элементы этого поля будут, таким образом, рациональными
функциями исходных независимых параметров ............рг, причём
коэффициенты этих функций рационально составлены из исходных чисел.
Заметим ещё, что, начиная с § 37, в тексте имеются в виду только действительные числа и переменные, принимающие действительные значения, т. е. мы находимся в области обыкновенной геометрии.
[гэ] Более точно, в дальнейшем тексте под вполне действительными числами понимаются алгебраические числа, полученные в результате рациональных операций и извлечений квадратных корней, и действительные вместе со всеми своими сопряжёнными числами.
Уточним, в частности, г связи с этим ряд пунктов в предшествующих рассуждениях.
1. Извёстно, что, исходя из данных точек и пользуясь циркулем и лииейкой, мы можем строить все те и только те точки, координаты которых выражаются через координаты данных точек при помощи четырёх рациональных операций и извлечений квадратного корня. Доказательство этого весьма элементарно н основано на следующем. Точки пересечения двух окружностей или окружности и прямой отыскиваются в результате решения квадратного уравнения, коэффициенты которого рационально выражаются через коэффициенты уравнения окружностей или окружности н прямой; обратно, пользуясь циркулем и линейкой, нетрудно геометрически осуществить извлечение квадратного корня из любого числа, заданного отрезком.
Подробное изложение вопроса можно найти в книге Адлера «Теория геометрических построений».
2. Пусть координаты данных точек рационально зависят от г произвольных параметров рх,...,рг
