Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
При этом частное двух случайных величин условимся считать равным 0, если числитель и знаменатель одновременно равны нулю.
Указанные свойства случайных величин (измеримых функций) хорошо известны из теории меры.
Важным примером случайных величин являются индикаторы измеримых событий. Индикатор х(Л) = %(Л, со) события Л определяется следующим образом.
Определение. % (А, со) = 1, если шеЛ, и х(^-®)=0, если со ё А.
Алгебраическим действиям над событиями соответствуют аналогичные действия над их индикаторами. Действительно,
Случайная величина, принимающая только конечное или счетное множество значений, называется дискретной. Если {сп, п = = 1,2, ...} — множество возможных значений случайной величины g, Ak — событие {g = c„}, то ? = ?сд(А,).
Теорема 4. Для произвольной случайной величины g существует последовательность дискретных случайных величин \п>
ры 23 играет а-алгебра S31, состоящая из множеств вида
..., п, также является случайной величиной, a gi/g2, sup gn, inf g„, limg„, lim g„ — обобщенными случайными величинами.
%(A\B) — %(A) — %(B), если В с: A,
7(ШпЛ„) = 1'1т5с(Л„),
% (lim Л„) = lim % (Л„).
П
s ,] АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 97
принимающих только конечное число различных значений и сходящихся к I при каждом со. Если I неотрицательна, то существует монотонно неубывающая последовательность дискретных
случайных величин 1'п таких, что 0 — 1'п ^при любом ©.
П— 1 П
Действительно, если положить \п — 1 Z0+^)x
1=~п 6=1
XXИ/*)» где = / + -Ц— <?< /+ ?}. то при |?|<п
оо
будем иметь 0<? ——. Положив l'n= ^Г-рг где
А = О
Лп* = {ю: }. получим 0<| — lh < для всех а,
при которых 1^0, причем последовательность монотонно не убывает. I
Пусть значение случайной величины | можно определить по некоторому эксперименту, результаты которого описываются случайным элементом ? со значениями в измеримом пространстве {X, S3}. Естественно ожидать, что ? является S-измеримой функцией от случайного элемента ?. Точная формулировка этого соображения содержится в следующем предложении.
Теорема 5. Если g — случайная величина, измеримая относительно о-алгебры ftj, порожденной случайным элементом t, = f((i>) на измеримом пространстве {X, S3}, то найдется такая 0-измеримая функция g(x), х^Х, что | = g(?).
Доказательство. Допустим сначала, что ? принимает конечное или счетное множество значений ап, п = 1,2, ... Положим Л„ = {со: 1 = ап}. Так как ? ^-измеримо, то Ап <= ^ и, следовательно, найдется такое Вп е 23, что f~l (Вп) = Ап. Пусть Сп —
п — 1
— Вп\ [}вк. Тогда С„<= 23, С„Л Ст= 0 при п ф m, f~1 (С„) = k ~ 1
П— 1 П—1 /со Ч оо
= Г' (Вп)\ []Г1(Вк)*=Ап\ U Ак = Ап и/-,(^ус„] = ул„==й,
00
Т. е. /(й)с=ис„. Положим'g(x) = '?1ап%(Сп, х). Тогда ?=g(?)=
1
= ёГ(/ (со)). Перейдем к общему случаю. Существует последовательность дискретных случайных величин ?„, ^-измеримых и сходящихся к ? при каждом со. По предыдущему ?„ = ?„(?), гДе §п(х) — 23-измеримая функция. Множество точек S, в кото-РЬ1Х Sn(x) сходится к некоторому пределу, 23-измеримо, содержит / (Q) и при каждом л: = /(со) = ? существует lim gn (х) = ?. Положим g (х) = lim gn (х) при х е S и g (х) = 0 при JteS, Тогда ё (х) — 23-измеримая функция и g (?) = ?. В
98
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
[ГЛ. ц
Определение, а-алгебра 8 называется простой, если она состоит из 0 и всех множеств вида F = ? Enj, где {Еп, п =
= 1,2, ...}—счетная (или конечная) последовательность попарно несовместимых событий и (J En — Q. Множества Еп бу-
П
дем называть атомами а-алгебры 8.
Теорема 6. Если случайная величина т] измерима относительно простой а-алгебры 8, то она постоянна на атомах 8:
л = ? ад {Еп)~
П
Действительно, случайную величину т] можно аппроксимировать сходящейся при каждом со последовательностью случайных величин т]п, постоянных на атомах Еп (теорема 4). Отсюда следует постоянство т] на множествах Еп. Ц
Говорят, что некоторое утверждение или свойство, относящееся к вероятностному пространству {Я, ©, Р}, имеет место с вероятностью 1 или почти наверное, если событие, состоящее в том, что оно выполняется, ©-измеримо и имеет вероятность, равную 1. Если | = rj с вероятностью 1, то случайные величины g и г] называются эквивалентными. Пишут также, что ? = = г] (mod Р).
Теорема 7. Если = т]„ (mod Р), п = 1, 2, ..., и h(tu ... tn) — борелевская функция в 52", то следующие равенства выполняются с вероятностью 1:
