Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Будем пользоваться также обозначением
Mg = $?dP.
с
Положим
5 ?<*Р=$/(ю)Р(Ло) = Мзс(Л)?.
А А
Из общих свойств интеграла вытекают следующие свойства математического ожидания.
Теорема 10. а) Неравенство
J ndP
А А
тогда и только тогда выполняется для всех Де®, когда
Л (mod Р);
б) JidP = JtidP
А А
для всех А, тогда и только тогда, когда ? = ri(modp);
в) если М| и Мл конечны, то
М (al + 6л) — + бМт]
для всех постоянных а и Ь.
Отметим ряд часто используемых неравенств.
Неравенство Чебышева. Если f(x)~>0 (лг>0) и монотонно не убывает (х 0), то У а > 0
Неравенство Иенсена. Если g(x)—непрерывная выпуклая функция на (a, b), — оо ^ а < b ^ + оо, и а < g < b(mod Р), то
г (Мб) < Mg а). (Ю)
Напомним, что функция ^(л;) называется выпуклой на (а,Ь), если для любых двух точек х\ и х2 из (а, Ь) и любого Яе(0, 1)
g (U, + (1 - Я) х2) < Kg (*,) + (1 - Я) g (х2),
т. е. если любая точка дуги графика кривой y=g(x) х&(хих2) лежит не выше отрезка, соединяющего концы этой дуги. Из определения вытекает, что для каждой точки Q = (х0, g(x0)) графика выпуклой кривой существует опорная прямая, т. е.
|02 АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [ГЛ. !!
прямая, проходящая через точку Q и такая, что все точки графика кривой лежат не ниже опорной прямой. Это означает, что для любого л:0е(а, Ь) найдется такое а, что
g(x) — g(x 0)>а(л; —л;0)
для всех х^(а, Ь). Полагая здесь х0 — М%, х = | и беря математическое. ожидание от обеих частей неравенства, получим неравенство (10).
Следствие. при р > 1 и
(MIIIV <(М|Щр при 0 <q<p. (11)
Неравенство Гёльдера.
M|^l<(MmP)^-(Mhlvh где 1 + 1=1, р> 1. (12)
Частным случаем неравенства Гёльдера является неравенство Коши — Буняковского
(М?л)2 < Mg2 • Мл2.
С помощью неравенства Гёльдера легко получить неравенство Минковского
JL _L _L
[М|? + лПр <[М|ЕПР +[М|лПр. Р> 1. (13)
В разных вопросах часто используется возможность пре-дельного перехода под знаком математического ожидания.
Теорема 11. а) (Теорема о монотонной сходимости.). Если 0 ==? |п sg g„+1 (п = 1,2то
lim М?„ — М (limg„).
б) (Лемма Фату.) Если ?n 0(mod Р), то
М Нш|п<НтМ|п.
в) (Теорема Лебега о мажорируемой сходимости.) Если T](mod Р), lim ?„ = ?(mod Р) ы Мл < то
lim Mg„ = М|.
Положим
ф(Л) == 5^Р = Mix (Л), л е= <5. (14)
А
Определение. Действительная функция множества ф (Л), определенная на некоторой а-алгебре ©, называется зарядом, если она может принимать бесконечные значения только одного знака и если для произвольной последовательности не-
? ]] АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЮЗ
пересекающихся множеств Ап (Ап е @, А„ П Ат — 0 при п ф г, п = 1,2,...)
/ со \ оо
ф( U Ап) = Z ф(А„).
\п—I / п=1
Если случайная величина ? имеет математическое ожидание (конечное или бесконечное), то функция множеств ф, определяемая формулой (14), является зарядом.
Следующая формула соответствует правилу замены переменных в теории интегрирования.
Теорема 12. Пусть l = g{V), где ? = /(со)—случайный элемент в {^, S3}, g — действительная Ъ-измеримая функция на X, m = Pf~l — распределение случайного элемента ?. Тогда
Mg = ^ g{x)m(dx), (15)
х
если одна из сторон этого равенства определена.
Допустим, что на {X, 59} задана конечная или сг-конечная мера q. Напомним, что мера q называется a-конечной, если существует последовательность множеств Вп, Вп е 33, таких, что \}Вп = Х и q{Bn) < оо.
л
Определение. Мера пг на {X, S3} называется абсолютно непрерывной относительно меры q (от < </), если существует 89-измеримая функция р(х) такая, что
m (В) = ^ р (х) q {dx) для всех В е 23. (16)
в
Теорема 13 (теорема Радона — Никодима). Для того чтобы мера пг была абсолютно непрерывна относительно меры q, необходимо и достаточно, чтобы из q(B)= 0 следовало т(В) = 0.
Пусть т — распределение случайного элемента ? = /(со)
{т = р/-1) на {X, 59} и т <С q-
Определение. Функция р, определяемая соотношением об), называется плотностью распределения случайного элемента ? относительно меры q. Плотность распределения обладает следующими свойствами:
