Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
для произвольной последовательности попарно несовместимых событий Ап, п = 1, 2, ... (Ап П Аг = 0 при п ф г, Ап е @).
Таким образом, функция р является мерой, заданной на @, Удовлетворяющей условию нормировки P(?i) = 1 (вероятностной мерой).
Определение. Множество с выделенной в нем о-алгеброй @ всех наблюдаемых событий и вероятностной мерой Р, заданной на @, называется вероятностным пространством {?i, @, Р}.
Вероятность обладает следующими свойствами:
1. Р (Л = 1 — Р (А). В частности, Р (0) = 0.
2. Если A cz В, то Р (В \ А) = Р (В) — Р (Л). В частности, если AczB, то Р(Л)<Р(В).
содержит а-
Р(Л)>0, P(Q) = 1,
б)
92
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1ГЛ. II
3. Если AnczAn+u га—1, 2, то
p(j] А,) = НтР(Д,). (4)
4. Если Ап=> Ап+и п— 1, 2........то
Р(Д Д,) = НтР(Д,). (5)
оо
В частности, если Ап=э А„+и (~) Л„ = 0, то
П=\
Р(А,)-0. (6)
Эти свойства вероятности хорошо известны из теории меры.
В ряде случаев бывает целесообразным расширить область определения вероятности Р с помощью следующей операции, которую называют пополнением вероятностного пространства.
Обозначим через 9i класс всех наблюдаемых событий N вероятности 0, 3? = {N: P(N) r=zO, N е©}, а через 31— класс всех
событий Л, для которых существует N е 31 такое, что A cz М,
31= {Л: AczN, N e3t}, Пусть @ — класс событий 5 вида S == S U A, Se®, А е 31. Нетрудно проверить, что 6 является о-алгеброй событий.
Определим на @ вероятность Р, положив P(S U А) = Р(5), если Se® и А е 31. Это определение однозначно и Р — счетно аддитивная функция на @. Таким образом, {Я, Р} является вероятностным пространством.
Операцию перехода от {Q, @, Р} к {Я, @, Р} называют по-полнением вероятностного пространства. Если 31 сг Ш, то @ == 0 и вероятностное пространство называется полным. Очевидно, что {Я, @, Р} является полным вероятностным пространством. В полном вероятностном пространстве произвольное подмножество наблюдаемого события вероятности 0 само является наблюдаемым событием.
Случайные элементы. Во многих случаях класс наблюдаемых в данном эксперименте событий задается следующим образом. Принимают, что результат эксперимента описывается точкой некоторого множества X. Например, если эксперимент состоит в измерении в данный момент времени и в данной точке пространства скорости ветра, то в качестве X можно принять трехмерное векторное пространство. Если же скорость ветра измеряется непрерывно в течение некоторого промежутка времени [to, /1] и предполагается, что соответствующая функция непрерывна, то в качестве X можно взять пространство непрерывных функций
§11
АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
93
на отрезке [г“о, ^i] со значениями в трехмерном векторном пространстве.
Определение. Множество X с выделенной в нем а-алгеброй подмножеств 23 называется измеримым пространством {X, 58}.
Точку х, характеризующую результат эксперимента, обозначим через ?. Предположим, что наблюдаемыми событиями являются события вида fteB}, SeS. Из исходных предположений следует, что событию {? е В} соответствует в Q некоторое множество S = Ss е @. Таким образом, рассматриваемый эксперимент определяет некоторое отображение g о-алгебры 23 в о-алгебру @. Это отображение обладает следующими свойствами:
а) g(X) =Q;
б) если В\ П В2 = 0, В* <= 23, то
g{Bi)[\g{B2) = <Z>\
в) g( (J = (J ё(Ва)> где I — произвольное множество
\ael / ael
индексов, 5„ё8.
Из а) —в) легко вытекает, что
г) g(0) = 0;
Д) g(B) = g(B);
е) g(B2\Bi) =g(52)\g(5i);
Ж) g( П в A — n g(Ba).
\aef / ae/
Будем говорить, что отображение g о-алгебры 33 в @, обладающее свойствами а) —в), порождает в {X, 23} некоторый случайный элемент ?.
Положим m(B) = P(S) (В <= 23). Очевидно, что т(В) является вероятностной мерой и {^,23, т} — вероятностным пространством. Меру т называют распределением случайного элемента ?. При этом т(В) = Р{?еВ}. В некоторых случаях удобно пользоваться обозначением
m = Pg {Pg{B) = P{g{B))).
Если 23 содержит одноточечные множества (т. е. множества {*}, состоящие из одной точки х, xel), то отображение g можно описать следующим образом.
Пусть ^{л:} —Sx. Заставляя х пробегать X, получим разбиение пространства Q на семейство ©-измеримых множеств {S*, попарно без общих точек:
•S*1f|S*J=0 при ххфх2, U S* = Q.
;се JC
94
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
[ГЛ. II
Определим отображение / множества Йв1, положив /(ш) = s= х, если meS*. При этом SB — g(B) = {©: f(a)eB}. Таким образом, g(B) является прообразом множества В при точечном отображении f пространства Q в X, g(B) =f~l(B). С другой стороны, пусть f — произвольное отображение Я в X. Тогда f~l(B) обладает свойствами а)—в), и если для любого fie 33
