Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Спектральная функция F (и) процесса (2) определяется соотношением
Р(и)= I С\.
k
ak<a
Это означает, что F(u) равна средней мощности, переносимой гармоническими составляющими процесса Z,(t), частоты которых менее заданного значения и. Она полностью характеризует как среднюю мощность каждой гармонической составляющей процесса ?(?)> так и суммарную среднюю мощность гармонических составляющих процесса, частоты которых лежат в любом
76
случайные процессы в широком смысле
Ггл. т
заданном интервале. Действительно,
С помощью спектральной функции корреляционная функция процесса ?(/) может быть записана в виде
С математической точки зрения спектральная функция является неотрицательной неубывающей непрерывной слева функцией, постоянной всюду, кроме конечного числа точек, в которых она имеет скачки величиною с\. Оказывается, что понятие спектральной функции может быть введено для произвольных стационарных в широком смысле процессов. Этот вопрос, так же как и вопрос об обобщении представления (6) на произвольные стационарные процессы, рассматривается ниже.
Особый интерес представляют случайные процессы, которые могут быть получены из процессов вида (2) с помощью предельного перехода. Сущность этого предельного перехода состоит в том, что число слагаемых в сумме (2) неограниченно возрастает при убывании комплексных амплитуд а спектр процесса, т. е. совокупность всех частот ик, все плотнее заполняет прямую (—оо, оо). В пределе получается некоторый случайный процесс, о котором следует говорить, что он имеет нё-прерывный спектр. Более точный смысл последнего термина и вопрос об аналоге представления (2) для получаемых таким образом случайных процессов рассматриваются ниже и в гл. V. Здесь же ограничимся рассмотрением предельных распределений.
Теорема 1. Пусть апн, Рпй {k = 1, ..., п\ п — 1, 2, ...) —> две последовательности серий взаимно независимых (в каою~ дой серии) случайных величин,
оо
R{t)= J eiutdF(u).
(6)
b,
MartS = M|3nfe = 0, Da„fe = Dp„s =-“ < oo
и
П
?n it) — H Yn?e<U"ft< = In (0 + lTln (t)> Уnk = Ct/jfe + I'Pnfc. ft-1
Допустим, что при n —> oo выполнены следующие условия:
а) спектральные функции Fn(u) процессов ?п(0 при п -* оо сходятся на некотором всюду плотном множестве значений на
§ s, ПРОЦЕССЫ, СТАЦИОНАРНЫЕ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 77
прямой (—оо, оо) к функции F{u), причем
П
F(—°o) = О, F (+ оо)== cr- = lim X Kk < °°:
k~ 1
б) случайные величины {апи, Рпь} удовлетворяют условию 'Линдеберга (теорема 5 § 2).
Тогда при п—> оо случайный процесс ?,n(t) слабо сходится к стационарному процессу ?(?) = ?(0 + Й1(0- Характери-
стическая функция совместного распределения величин
ш, HQ, л ft), ..., Y1&) (7)
дается выраокением
Ф(«1, us, уь у5) = ехр| — -jS2|,
где
S
B2 = y ? R (tj — 4) ZjZh, z^Uj — iVj, j= 1, .... s,
l, ft=i
CO
R(t) = \eiatdF{u). (8)
— CO
Заметим, что в условиях сформулированной теоремы можно получить в качестве функции F(и) произвольную ограниченную монотонно неубывающую функцию.
Сформулированная теорема является частным случаем теоремы 5 § 2. При этом следует считать, что 0 есть множество пар 0 = (t, q), — оо < t < оо, q = 1, 2, anfe(0) = anh(t, q), где
ank {t, 1) = Re ynke‘“nkt, ank (U 2) = Im ynketUnki.
Легко проверить, что если ank, $пь удовлетворяют условию Линдеберга, то ему удовлетворяют и величины а„*(0) при любом В.Пусть ?<">(0,, В2) = ?<">,(*!, t2), Qt = (tit <7г)> ?№(*„ *2) = = Wi- ^-Мцп^)Пп({2), RW(tlt fs) =
= Щп [U) Чп &)• В силу формул (3)
оо
Ru {t\3 h) — Rv (ti, t2)=Y 5 COS [{t2 — ti) u] dFn{u),
— CO
oo
Ri2 {tu h) = J ^ sin [(<2 — fj) u] dFn (u).
78
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
1ГЛ. I
Принимая во внимание теорему Хелли, из условия а) при п—+оо получим существование пределов
Ril (t) = lim Rfj (т, т + t), i, j = 1, 2,
oo
flu (0 = #22 (0 = 4 \ cos (tu) dF («),
— oo
00
#12(0 = 4' 5 sin(iu) dF (u).
