Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
— CO
Таким образом, условия теоремы 5 § 2 выполнены. Из этой теоремы следует, что характеристическая функция совместного распределения величин (7) равна
—L в1
ср(иь us, vu vs)=e 2 ,
где
S
В2 = Yj Vi ~ tk) ubui + 2#'2 Vi — tk) ubPi +
*./=i
+ #22^/ — tk) VkVf = Y R(tj — tk)z,zk,
i,
Zj = Uj — iVj, j—l, ..., s. a
Доказанная теорема приводит к примеру стационарного процесса, корреляционная функция которого дается формулой (8), где F(u)~ произвольная неотрицательная ограниченная монотонно неубывающая функция, непрерывная слева.
Оказывается, что соотношение (8) является общим для всех стационарных в широком смысле процессов. Именно, имеет место следующая теорема.
Теорема 2 (теорема Хинчина). Для того чтобы непрерывная функция R(t) (—оо < t < оо) была корреляционной функцией стационарного в широком смысле процесса, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление (8).
Доказательство. Необходимость. Корреляционная функция стационарного в широком смысле процесса положительно определена, т. е.
t Я &-*/)**?/> о
ft,/-1
при любом выборе чисел п, tu ..., tn, , кп (п — целое,
— действительные, a Xk — комплексные числа). Из теоремы
ПРОЦЕССЫ, СТАЦИОНАРНЫЕ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
79
Бохнера — Хинчина следует, что R(t) допускает представление (8). Достаточность условия теоремы вытекает из предыдущей теоремы. ¦
Впрочем, можно значительно проще построить стационарный в широком смысле процесс, корреляционная функция которого выражается формулой (8) с наперед заданной спектральной функцией F(u).
Пусть F (-)- оо) = о2 и | — случайная величина с функцией распределения-^-/7^). Положим
? (t) = ere1' <^+ф),
где Ф и | независимы и ф равномерно распределена на интервале (0, 2л). Тогда
оо 2л:
М?(0 = сг ^ \eHta+v)-^TdF О
— оо О
и
R{t + h, й) = М{?(/ + й)Ш} =
со 2я со
= a* J J eltu-^dF(u)^- = \eiiadF{u).
— ОО 0 —оо
Определение. Функцию F(u), фигурирующую в представлении (8) корреляционной функции стационарного (в широком смысле) процесса, называют спектральной функцией. Если F(u) абсолютно непрерывна,
U
F {и) = ^ f{u)du,
— оо
то f(u) называют спектральной плотностью процесса.
Напомним физический смысл спектральной функции. Если под случайной функцией %(t) понимать электрический ток, то функцию F(и) можно интерпретировать следующим образом: процесс \(t) представим в виде «континуальной суммы» простых гармонических колебаний со случайными амплитудами, и приращение F(u2)—F(ul) (их < и2) равно средней мощности, рассеиваемой гармоническими составляющими процесса, частоты которых лежат в полуинтервале [щ, и2).
Отметим, что функцию /?-1 (0)/?(/), где /?(0) =/’(+оо), можно рассматривать как характеристическую функцию функции распределения (F(+ oo))_1F(a:). Отсюда следует, что спектральная функция однозначно восстанавливается по корреляционной. Если а и b — точки непрерывности функции распределения F(u), то, как известно из теории характеристических
80
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
[ГЛ. I
функций,
1 f -itb F{b)-F{a) = ~- J ±----------------R (t) dt, (9)
— oo
где интеграл справа понимается в смысле главного значения. В точках разрыва функции F(u) формула (9) останется справедливой, если в ее левой части вместо F(u) подставить F(u + 0) + F(u)
2
Если корреляционная функция R(t) абсолютно интегрируема
оо
на интервале (—оо, оо), т. е. ^ \R(t)\dt < оо, то правая часть
—-оо
равенства (9) дифференцируема по параметру Ь. Таким образом, из абсолютной интегрируемости функции R(t) вытекает существование спектральной плотности и равенство
оо
\ e~iuiR{t)dt,
— оо
т. е. /(«) есть обратное преобразование Фурье корреляционной функции R(t).
Теорема 2 допускает обобщения в разных направлениях. Во-первых, можно рассматривать векторные стационарные процессы (в широком смысле), а во-вторых, стационарные функции (скалярные или векторные) нескольких аргументов. Остановимся сначала на векторных стационарных в широком смысле процессах с комплексными компонентами. Пусть
= (Ш.........Ш)-
Теорема 3. Для того чтобы непрерывная матричная функция R{t) = (Rjh(t)), j, k = 1, ..., d, была корреляционной матричной функцией некоторого стационарного в широком смысле процесса t{t), необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде
