Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Г'(Я) = {ю: /(ю)е5}е@, (7)
то является случайным элементом в {X, 33}.
Определение. Отображение f пространства Я в X, удовлетворяющее (7), называют измеримым отображением {Я, ©} в {X, 58}.
Из предыдущего следует: произвольное измеримое точечное отображение / {Я, 6} в {X, 23} определяет случайный элемент ? = /(<а) в {X 23}. Обратно, если одноточечные множества X 58-измеримы, то произвольный случайный элемент в {X, 33} задается с помощью измеримого точечного отображения /: Q->X. В частности, последнее имеет место, если X — метрическое пространство, 33— ст-алгебра его борелевских множеств.
Проверка выполнения условия измеримости (7) в ряде случаев облегчается следующим предложением.
Теорема 2. Пусть 23 = а{2Л}. Для того чтобы f было измеримым отображением {Я,©} в {Х,Щ, достаточно, чтобы условие (7) выполнялось для произвольного ВеШ.
Действительно, класс множеств, для которых (7) имеет место, является ст-алгеброй. Поэтому, если равенство (7) выполняется для всех В из Ш, то оно выполняется и для всех В s е ст{2Я}. Ш
Пусть ? — произвольный случайный элемент в {^, 33}. Из свойств а)—в) отображения g вытекает, что класс событий
о{Z}m-{S: S = g(B), В<=Щ (8)
является ст-алгеброй. Она называется о-алгеброй, порожденной случайным элементом ?, и является классом событий, наблюдаемых в том эксперименте, возможные исходы которого описываются случайным элементом ?.
В дальнейшем рассматриваются главным образом случайные элементы, определяемые точечным отображением Я в Х,_ т. е. элементы Z = f (®) •
Пусть дана последовательность случайных элементов ?& = = /й(ю), k = I, ..., п со значениями соответственно в {Xk, 33fc}. Эту последовательность можно рассматривать как один случайный элемент Z, со значениями в измеримом пространстве {Y, S}, определяемый следующим образом. Пусть Y — множество всех упорядоченных последовательностей у — (хи х2, ... ..., хп), где Xh^Xk. Пространство У называют произведением
АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
95
а
пространств Хи ..., Хп и пишут Y = JJ^k или Y — Хг X
k—l
X Х2 X • • • X Хп. В Y рассмотрим класс множеств В вида В =
= П е т- е*
В z=== {у (Х\, х%> ... > s k 1, ..., м}.
Множества этого вида будем называть кирпичами в Y. Минимальную сг-алгебру 33, содержащую все кирпичи, называют произведением а-алгебр 23fe и пишут 33 = 0{%, k = 1, 2, я}, а
гг
измеримое пространство {У, S3} = п {Xk, 23*} — прямым произ-
k=i
ведением пространств {Xk, 2^}.
Рассмотрим отображение f Q в У, определяемое соотношением Y — /(со) = (/i (со), /2(03), fn{ ш)). Если В = П^ь то
*=i
Г (В) = [}Г1 (Д*)е@.
й= L
Класс 91 множеств А, для которых /-1И) ^ ©> является 0-алгеброй (в силу того, что прообраз суммы, пересечения и разности множеств равен, соответственно, сумме, пересечению и разности прообразов). Так как 51 содержит кирпичи, то он содержит и минимальную 0-алгебру §3, порожденную кирпичами. Итак, / есть измеримое отображение {Q, ©} в {К, ?3}. Будем говорить, что случайный элемент ? = /(<в) является прямым произведением случайных элементов Zu — fk(a>) (& = 1, 2, ..., п).
Случайный элемент ^ = /(ш), принимающий действительные значения (X = 52’, §3 = S31 — а-алгебра борелезских множеств на действительной оси), называют случайной величиной. Случайный элемент ? со значениями в я-мерном действительном пространстве 52" называют случайным вектором (при этом 23 — W -0-алгебра борелевских множеств n-мерного пространства) .
Случайные величины. Произвольная случайная величина ? задается некоторой действительной функцией /(со), обладающей свойством f-1 (В) е© для любого борелевского множества Вей?1. Так как а-алгебра борелевских множеств на прямой порождается системой бесконечных интервалов {(—оо,а), ае S521}, то для измеримости / достаточно, чтобы при любом а f~l (— оо, а) = {©: /(со) < а} ©. Последнее требование обычно фигурирует в определении действительной ©-измеримой функции, заданной на измеримом пространстве {Q, ©}. Таким образом, понятие случайной величины совпадает с понятием действительной ©-измеримой функции и общие свойства случайных
96
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
[ГЛ. II
величин совпадают с общими свойствами действительных измеримых функций.
Заметим, что в некоторых случаях приходится рассматривать случайные элементы со значениями из расширенной числовой прямой 31х = [— оо, -f- оо]. Такие случайные элементы называют обобщенными случайными величинами. При этом роль сг-алгеб-
BU{+°°}, В U {+ оо} U {— оо} (Ве23').
Отметим некоторые свойства случайных величин.
Теорема 3. Борелевская функция г]=^(1ь ..., gn) => = ?(Ы“), •¦.,/«(“)) случайных величин lh = fh(&),
