Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
оо
R(t)= \ eiut dF (и), (10)
— оо
где F(u) = (Fjh(u)), j, k=\, ..., d, — матричная функция со следующими свойствами:
а) для любых «1 и и2, матрица AF(u)=F(u2)—F(ui)
неотрицательно определена;
б) Sp [F(-{-оо) — F(—оо)} < оо.
По поводу условия б) заметим, что в силу а) диагональные элементы матрицы F{u) являются монотонно неубывающими
5 5] ПРОЦЕССЫ, СТАЦИОНАРНЫЕ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
81
функциями и. Таким образом, условие б) эквивалентно требованию ограниченности вариации на прямой (— оо, оо) каждого диагонального элемента F{i(u) матрицы F(u).
Далее, из положительной определенности матрицы AF(u) следует, что
|ДFlk(u) 12<Д^у (и) AFkk (и),
откуда
где AF(uv)= F(up)—F(up-i), р = 1,2, ...,s, u0<ui<... ... < иs.
Отсюда вытекает, что недиагональные элементы Fjh(u) матрицы F(u) также будут функциями ограниченной вариации. Без ограничения общности можно считать, что F(—со)=0.
Теорема 3 вытекает из матричного варианта теорему Бох-нера — Хинчина. Его можно получить в качестве следствия из теоремы Бохнера — Хинчина. Приведем соответствующее доказательство для того, чтобы проиллюстрировать, как из «одномерных» теорем можно получить их многомерные аналоги.
Доказательство теоремы 3. Пусть R(t)—непрерывная корреляционная матричная функция стационарного в широком смысле d-мерного векторного процесса t,(t) с комплексными компонентами. Для любого rf-мерного комплексного вектора с введем случайную величину
Ш = Ш, с).
Тогда —стационарный в широком смысле случайный процесс с непрерывной корреляционной функцией:
mc = М?с (t) = (М? (t), с) = const,
Rc V) од М ([?с (t + s) — mc\ [Zc (s) — mc]) = c*R (t) c, t > 0.
В силу теоремы 2 корреляционная функция Rc{t) может быть представлена в виде
по
S ettudFc(u),
— 00
где Fc(u)—монотонно неубывающая функция от и и Fc(u)<i оо.
Пусть е^ — d-мерный вектор, у которого k-я компонента равна единице, а остальные нулю:
О, р Ф k,
82 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ ГГЛ Г
Тогда Re(k) (0 = Rkk U) является корреляционной функцией /е-й компоненты векторного процесса ?(0- Положим
е(А, /) = e(k) _|_ е(/)) g(fc, /) = _|_ е(/)#
Имеем
/) W = (0 + /?й/ (0 + RJk (t) + Rfl (t), k ф /,
л (0 = Rkk (0 + iRkl (t) — iRfk (t) + /?/7 (0.
откуда
^ (k f) ^ l i
Rkj (0 = —L~L---------§--“------------2---~
Если положить
^ (fe П ^~(k i) 1 /
Fu, (u) = ----2—“-------------“V- (^<*>(w> “ ^ (u)).
Fkk («) = ^,<*> («). то получим
oo
\ eitadFkl(u), k, j — 1, ..d.
— CXJ
При этом
d <я / d 4
яло = 2 (л ёл,(/)СЛ
*, /=! -С» V/= 1 ^
Из единственности спектральной функции /•'„(и) следует
d
В с (^) X) CkF kj fa) С !•
ft, /=1
d
Отсюда вытекает, что AFc(u)= X) CkAFkj(u) с.-^О, так что
*,/=1
матрица AF(u) неотрицательно определенная и /^(-f-oo) < оо. Теперь остается показать, что для любой матричной функции F(u), обладающей свойствами а) и б) теоремы 3, можно построить векторный стационарный в широком смысле процесс с корреляционной функцией (10). С этой целью сначала введем 2с?-мерный действительный гауссов процесс (?(0, Tl(0)> гДе ?(0 и Л(0—d-мерные действительные гауссовы процессы, определив его следующим образом. Пусть
Й* = К* •••> О’ ^ = •••> bf), k = \, ..., л, — две по-
следовательности векторов в &td. Определим характеристиче-
§ 5j ПРОЦЕССЫ, СТАЦИОНАРНЫЕ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 83
скую функцию совместного распределения векторов ...
..., ? Уп), Л (М.......Л (/„)) с помощью формулы
<ptr • • ч b 1, ..., Ьп) =
= ехр{ —Y^(alf ..., ап, Ьх...........Ьп},
где
П
К(&1> • * • > ¦ j = 2 */) "I"
я, / = 1
+1?, -',) 'ь, + sVt"(i, - /,)*,] +,*;«' ((, - у
со со
R'(i)=-j ^ cos (tu) dF (и), R"(t) = — ~ ^ siu(tu)dF(u),
~oo —oo
00
