Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Mil, • • •> 1п) = МЛь • • •• tin). supgn = supr]n) inf In = inf Лп, lim ?„= Tim Tin, Hm ln = lim r]n.
Это предложение показывает, что обычно аналитические операции преобразуют системы эквивалентных случайных величин в эквивалентные, так что можно говорить об операциях над классами эквивалентных величин.
Сходимость с вероятностью 1. Пусть п= 1, 2, ...,— последовательность случайных величин. Событие S = {lim ?„ существует} ©-измеримо.
со со
Действительно, 5 = Р| (J { о>: I |m, — ?mj < j } •
k = l n=l nit, m2^n
Определение. Последовательность gn, п=1,2, сходится с вероятностью 1 или почти наверное, если
Р{Нт|я существует} == 1.
Для доказательства сходимости с вероятностью 1 в конкретных задачах бывает полезным следующий критерий.
J 1] АКСИОМЫ ТЕОРИИ вероятностей 99
Теорема 8. Если найдется такая последовательность чисел е„, что
ОО оо
ел>0,?ел<оо, Е Р{ ISn+i — 1Л I > < оо,
П=| П=1
то с вероятностью 1 существует lim Если для любого е > О
со
ЕРШ — ?„1>в}< ОО,
Я** ]
то |п почти наверное сходится к
Доказательство. Пусть А„ — {со: ||n+i — |„| > еп}. Тогда
/ оо оо Ч со
Р (lim Ап) = Р ( П U Ат) = lim Р (1Ы„Л < lim Е em = 0.
\я = 1 т=п / \ п / п
Поэтому с вероятностью 1 существует такое п0 = п0(со), что ||n+i — Inl^e„ для всех п ^ п0. Отсюда следует, что ряд
оо
|i + Е (?n+i — tn) сходится с вероятностью 1, что и доказывает
П=1
первое утверждение. Пусть теперь Ат = {со: I s — I > -^ j . Имеем
/" оо оо оо \
Р{Иш||-|„|>0}=Р U П U
V. jV=1 т=1 п=т )
<lim lim Е P(Avm) = 0. ¦
;V->oo т->оо п=т
Сходимость по вероятности.
Определение. Последовательность случайных величин In, п = 1, 2, ..., называется сходящейся по вероятности к случайной величине | (P-limg„ = |), если для любого е > О
Р{||„ — ||>е}->0 при п->оо.
Она называется фундаментальной по вероятности, если для любого е > О можно указать такое п0 = я0(е), что для всех П\, «2 S3 п0
р { I tn, — In, I > е} < е.
Понятие сходимости по вероятности соответствует понятию сходимости по мере в общей теории меры. Из результатов последней вытекает
Теорема 9. а) Если гц = P-lim |n, t = 1, 2, то тц = = r]2(mod Р).
100 АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [ГЛ. II
б) Для того чтобы последовательность случайных величин сходилась по вероятности к некоторому пределу, необходимо
и достаточно, чтобы она была фундаментальной по вероятности.
в) Если последовательность сходится с вероятностью 1, то она сходится по вероятности. Обратное, вообще говоря, неверно. Но из последовательности случайных величин, сходящейся по вероятности, можно выделить подпоследовательность, сходящуюся с вероятностью 1.
г) Пусть r)W = P-lim(6 = 1, d), ?„ = g(?jt,\
где g(tx, ..., td) — действительная функция, непрерывная в 91й, исключая, быть может, множество D такое, что Р{(п(1)> ••• ..., T}№) е 5} = 0. Тогда
P-lim ?л = <?(т1(1>..
В частности, одновременно с последовательностями (i^’} сходятся по вероятности последовательности + • i® и
%п)/%п)’ последняя — при условии, что Р{г)<2) = 0} — 0 и
P-lim (&«> + I®) = л0) + Л(2). Р-Hm(i™ • if) = Ч(1) • Ч(2\
t(D „(о P-lim - 4
Математическое ожидание. Математическое ожидание дискретной случайной величины ? = сд(.4я) определяется фор-
П
мулой
М| = Ес„Р {! = ?:„},
п
если сумма ряда, стоящего в правой части равенства, имеет смысл. Это выражение представляет собою интеграл в абстрактном пространстве с мерой {Я, ©, Р} от простой функции
/ (со) = ? СпХ (Ап) '¦
Mi=J/(co)P(dco). (9)
Q
Последнюю формулу будем считать определением математического ожидания в общем случае при условии, что интеграл в правой части равенства (9) определен. Последнее означает, что по крайней мере один из интегралов
J Г* (а) Р (d<o), Jr(co)P(dco)
конечен (здесь /+ = max {/, 0}, f~ — max {— f, 0}). Если один из них бесконечен, то Mi = + оо или — оо соответственно. Если
3 X] АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 101
математическое ожидание величины | конечно, то будем говорить, что величина % интегрируема.
