Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 38

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 214 >> Следующая


Mil, • • •> 1п) = МЛь • • •• tin). supgn = supr]n) inf In = inf Лп, lim ?„= Tim Tin, Hm ln = lim r]n.

Это предложение показывает, что обычно аналитические операции преобразуют системы эквивалентных случайных величин в эквивалентные, так что можно говорить об операциях над классами эквивалентных величин.

Сходимость с вероятностью 1. Пусть п= 1, 2, ...,— последовательность случайных величин. Событие S = {lim ?„ существует} ©-измеримо.

со со

Действительно, 5 = Р| (J { о>: I |m, — ?mj < j } •

k = l n=l nit, m2^n

Определение. Последовательность gn, п=1,2, сходится с вероятностью 1 или почти наверное, если

Р{Нт|я существует} == 1.

Для доказательства сходимости с вероятностью 1 в конкретных задачах бывает полезным следующий критерий.
J 1] АКСИОМЫ ТЕОРИИ вероятностей 99

Теорема 8. Если найдется такая последовательность чисел е„, что

ОО оо

ел>0,?ел<оо, Е Р{ ISn+i — 1Л I > < оо,

П=| П=1

то с вероятностью 1 существует lim Если для любого е > О

со

ЕРШ — ?„1>в}< ОО,

Я** ]

то |п почти наверное сходится к

Доказательство. Пусть А„ — {со: ||n+i — |„| > еп}. Тогда

/ оо оо Ч со

Р (lim Ап) = Р ( П U Ат) = lim Р (1Ы„Л < lim Е em = 0.

\я = 1 т=п / \ п / п

Поэтому с вероятностью 1 существует такое п0 = п0(со), что ||n+i — Inl^e„ для всех п ^ п0. Отсюда следует, что ряд

оо

|i + Е (?n+i — tn) сходится с вероятностью 1, что и доказывает

П=1

первое утверждение. Пусть теперь Ат = {со: I s — I > -^ j . Имеем

/" оо оо оо \

Р{Иш||-|„|>0}=Р U П U

V. jV=1 т=1 п=т )

<lim lim Е P(Avm) = 0. ¦

;V->oo т->оо п=т

Сходимость по вероятности.

Определение. Последовательность случайных величин In, п = 1, 2, ..., называется сходящейся по вероятности к случайной величине | (P-limg„ = |), если для любого е > О

Р{||„ — ||>е}->0 при п->оо.

Она называется фундаментальной по вероятности, если для любого е > О можно указать такое п0 = я0(е), что для всех П\, «2 S3 п0

р { I tn, — In, I > е} < е.

Понятие сходимости по вероятности соответствует понятию сходимости по мере в общей теории меры. Из результатов последней вытекает

Теорема 9. а) Если гц = P-lim |n, t = 1, 2, то тц = = r]2(mod Р).
100 АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [ГЛ. II

б) Для того чтобы последовательность случайных величин сходилась по вероятности к некоторому пределу, необходимо

и достаточно, чтобы она была фундаментальной по вероятности.

в) Если последовательность сходится с вероятностью 1, то она сходится по вероятности. Обратное, вообще говоря, неверно. Но из последовательности случайных величин, сходящейся по вероятности, можно выделить подпоследовательность, сходящуюся с вероятностью 1.

г) Пусть r)W = P-lim(6 = 1, d), ?„ = g(?jt,\

где g(tx, ..., td) — действительная функция, непрерывная в 91й, исключая, быть может, множество D такое, что Р{(п(1)> ••• ..., T}№) е 5} = 0. Тогда

P-lim ?л = <?(т1(1>..

В частности, одновременно с последовательностями (i^’} сходятся по вероятности последовательности + • i® и

%п)/%п)’ последняя — при условии, что Р{г)<2) = 0} — 0 и

P-lim (&«> + I®) = л0) + Л(2). Р-Hm(i™ • if) = Ч(1) • Ч(2\

t(D „(о P-lim - 4

Математическое ожидание. Математическое ожидание дискретной случайной величины ? = сд(.4я) определяется фор-

П

мулой

М| = Ес„Р {! = ?:„},

п

если сумма ряда, стоящего в правой части равенства, имеет смысл. Это выражение представляет собою интеграл в абстрактном пространстве с мерой {Я, ©, Р} от простой функции

/ (со) = ? СпХ (Ап) '¦

Mi=J/(co)P(dco). (9)

Q

Последнюю формулу будем считать определением математического ожидания в общем случае при условии, что интеграл в правой части равенства (9) определен. Последнее означает, что по крайней мере один из интегралов

J Г* (а) Р (d<o), Jr(co)P(dco)

конечен (здесь /+ = max {/, 0}, f~ — max {— f, 0}). Если один из них бесконечен, то Mi = + оо или — оо соответственно. Если
3 X] АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 101

математическое ожидание величины | конечно, то будем говорить, что величина % интегрируема.
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed