Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
462 ДНФФУЗИОНПЫР ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIII
{со: | = 1} Г) {т, < t) е §0. Кроме того,
%2 А п
(п ч х2 Ап
5 fn = Mg jj f2(t)dt< оо.
а ' ti Д гг
Значит,
%г Лп
М| {j f(t)dw(t) = 0,
А п
[тг Д п г2 А п
{j f(t)dw(t) =Щ ^ f(t)dw(t). т,Ая -* т ,Л«
Переходя к пределу при /г—>оо, получим
Тг
Mg J f (t) dw (t) = 0,
Tj
/ Ta \ 2 T2
M^(j/ (/) (/)J = f2 (t) dw (t).
Из этих равенств и вытекают (14) и (15).
Предположим, что с совокупностью о-алгебр ft; (t ^ 0), определенных на {Q, ©, Р} и удовлетворяющих условию: при
0 ^ t\ <С <2 §<¦ с с ®> связаны одномерные винеровские процессы Wi(t), ..., wm(t), удовлетворяющие условиям: a) wx (t),... ..., wm(t) независимы; б) Wh(t) измеримо относительно gt, t ^ 0; в) m-мерный процесс (te»i (^ -J- /г) — w\(h), ..., wm(t + h)—wm(h)), t^- 0, не зависит от а-алгебры Эл-
Для всякой функции / €= 2^2 [й, 6] определены интегралы
ь
J f (0 dwk (f).
а
Укажем некоторые свойства, относящиеся к интегралам по различным винеровским процессам.
X. ?слы W](t) и w2(t) независимы и
м ^ f2 (0 л I < «, М (j g2 (О Л | ge) < 00 ,
70 ь
м U / (0 dw I (0 {j g (t) dw2 (() | j = 0. (16)
'*/1 П '
§ 1] СТОХАСТИЧЕСКИИ ИНТЕГРАЛ ИТО 463
Предположим сначала, что /(/) и g(/) — ступенчатые функции: = f (4), g (/) = g (4) при 4</ < 4+i, где а = t0 < tx < ...
... <tn—b. Тогда
M (z f (4) H (4+i) — m (4)] Ё ё(tt) [w2 (tf+l) — w2 (/,)) |=
= M (/ (**) ?(^/) l>i (4+i) — (4)] X
X M [®2 (/,+,) — W2 (//) | g,y] | g-a) +
+ M ^ X / (4) g (/,) [oy2 (</+i) — оу2 (гу)1 X X M [tWi (4+i) — wl ttk) I 5'fft] I 3a) +
+ м ( Ё / {tk) g (4) м (и (4+,) — и», (4)] X \ft-0
X [®2 (4+i) — ®2 (4)] I S(A) За) = 0.
В общем случае (16) доказывается предельным переходом от ступенчатых функций.
Обозначим через w(t) m-мерный винеровский процесс. Определим для векторных функций f(t)^&m, компоненты которых принадлежат Ш12 [а, Ь], интеграл
Ь mb
^ (/ (/), dw (0) = ^ dWk ^)>
a k-l а
где / (t) — {fi (t), ..., fm(t))¦ Будем обозначать для вектора хеЙ” с компонентами (*i, ..., хт)
1 ж I = Vх! + “• +Хп'
XI. Если f{t) —такая функция, что fk (t) е Ш2 [а, Ь\ и М ^ \f{t)?dt\%^< оо, то
M(j(/(0, dw(t)) |g^ = 0,
\f(t)\2dt\^.
Эти формулы вытекают из свойств И* и X,
464 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Рассмотрим теперь интеграл вида
ь
A (t) dw (t),
[ГЛ. VIII
(17)
где A (t) — матричная функция A(t) = || агу (t) функции
dij(t) Ь]. Интеграл (17) является векторной функцией
со значениями в Ж1, компоненты этого вектора определяются формулами
¦ Ь \ т b
A (t) dw (t) J =51 \ aU W dwl W- i = 1, • • •. n.
' i /*>1 a
Используя опять свойства И* и X, можем установить следующее свойство.
XII. Если A (t) — матричная функция, для которой а1)(1)щ е Зйз [а, Ь\ и
М^БрЛ (t) А* (0 = а2.] (0 d/|gfl)<oo,
то
>A(t)A*(t)dt\%a
ча
м
ь 21 \ №
\A(t)dw (/) kj = M(jsP.
/Y I '
¦)
(18)
(здесь Sp С — след матрицы С). Если B(t) =!l^(/(0!l/=i,’
МО'
0
'fi
[a, b] и M I \ S?B(t)B*(t)dt\%a <oo, to
¦)
M
A (t) dw (t), ^ В (t) dw (0^
Ъа
M
Sp A(t)B’(t)dt\%al (19)
Слева под знаком математического ожидания записано скалярное произведение двух векторов. (18) является частным случаем (19), если B(t) = A(t). Расписывая скалярное произведение слева в (19), будем иметь
п пг Ъ mb
Z Е 5 °ч wdw! $ Е Sbik ^dWk
i = l i=I a k=\ a
Если возьмем математическое ожидание, то останутся лишь те слагаемые, у которых k = /. Воспользовавшись формулой II*,
