Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
u
L = 2K2{T -t0-Y 1).
Это соотношение показывает, что оператор S непрерывен на 38. Далее,
M|Sn?i (t)~S%(t) |2< t
<l\m\Sn~% (и) - Sn~\2 (и) I2 cf«<
to
J... J mi...dtn^±n{^n-не. —g2a2.
Поэтому для каждого С (0 из $ справедливо неравенство
I sn+\ - sx ||2 < use —g ip.
Из сходимости ряда
оо
Ё ||s"+Ic —s"c||
п = \
вытекает существование предела процесса Sn?(/) при я-» оо. Если обозначить этот предел через ?(/), то из непрерывности S вытекает, что 5[5”g(/)]->5|(/). Но S[Sn?(/)] = Sn+1?(0 -> Таким образом, || 5| — 11| = 0. Из определения нормы вытекает, что тогда l{t) = S%(t) с вероятностью 1 при каждом t^[tc,T], т. е. l(t) — решение уравнения (2).
Перейдем теперь к доказательству существования решения уравнения (2) в общем случае.
Обозначим через lN(to) величину, равную l(t0) при |?(^о) | sC ^ N и равную 0 при ||(/;0)|>jV. Через ?,N(t) обозначим решение уравнения
lN (О = lN (to) + J a {s, lN is)) ds + J a {s, lN (s)) dw (s). (5)
474 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ 1ГЛ. VIII
Так как 11^(4) |^Л/ и M|gn(/0) j2 ¦< оо, то решение уравнения (5) существует и, как вытекает из уже доказанного,
sup М | lN (t) |2 < оо. t
Покажем, что при N -*• оо %N(t) сходится по вероятности к некоторому процессу ?,(t), являющемуся решением уравнения (2). Пусть N' >• N. Обозначим через т] случайную величину, равную 1 при 11(4)1^^ и 0 при \l(t0)\> N. Тогда ||N(M —
— lN' Vo) I1! — 0- Величина tj измерима относительно 0-алгебры gt0. Исходя из соотношения
| lN (t) - lN' (t) |2 т] < 2jj [a (s, (s)) - a (s, lN' (s))] tj ds j +
+ 2 ^ [0 (s, (s)) — 0 (s, lN’ (s))] ц dw (s)^
и используя условие а) теоремы и уже применявшиеся оценки интегралов, убеждаемся, что существует постоянная L такая, что
t
МI lN (t) — Iя' (i) l2n < L J M1(s) -1»' (s) prj ds.
*0
Следовательно,
M|?" (t) — lN’(t) J2r) = 0,
так что
P {I lN (t) ~ lN' (t) I > 0} < P {| | > N).
Из последнего соотношения вытекает, что (t) по вероятности сходится к некоторому пределу l(i) при N-*> со, причем
т
\(lN(i)-mfdi
и
по вероятности сходится к нулю при N->oo. Используя условие а) и свойство IV § 1, убеждаемся, что t t ^ a (s, lN (s)) ds^\)a(s,l (s)) ds,
10 U
t t
^ 0 (s, lN (s)) dw (s) -> ^ 0 (s, I (s)) dw (s)
to ta
по вероятности при N —> oo. Таким образом, |(s) удовлетворяет (2). В
§ 2J СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ 475
Покажем, что в условиях теоремы 1 решение уравнения (2) будет процессом Маркова. Для этого докажем следующую теорему.
Теорема 2. Пусть a(t, х) и a(t, х) удовлетворяют условиям теоремы 1, a Ег, *(s)— процесс, определенный при s е [/, Г], t > t0 и являющийся решением уравнения
S S
h,x(s) = x+ ^ а (и, lti х (и)) du + ^ <т (и, х (и)) dw (и). (6)
t t
Тогда процесс %(t), являющийся решением уравнения (2), будет процессом Маркова, вероятности перехода которого определяются соотношением Р (/, х, s, А) = Р {?*_ * (s) е А}.
Доказательство. Так как c,(i) измерим относительно %t, а lt,x{s) полностью определяется процессом w(s) — w(t) при s 6 [/, Г] (не зависящим от %t), то E(,x(s) не зависит от l(t) и событий из При s е [/, Т] l(s) будет единственным (ввиду теоремы 1) решением уравнения
5 S
Е (s) = Е (t) + ^ а («> Е (“)) du+^a (и, I (и)) dw (и), t t
Процесс lt,W)(s) будет также решением этого уравнения. Поэтому с вероятностью 1 Е (s) = It, sm (s). Покажем теперь,
что
Р{Е(5)еЛ|Е(/)} = Р{ШеЛШ-
Для этого достаточно показать, что для любой измеримой относительно ограниченной величины ? и любой ограниченной непрерывной функции А, (х)
M?Mg(s)) = M?M(Mg(s))|&(0). (7)
Обозначим ф(л;, со) = A, (Ef, * (s)). Тогда А, (? (s)) = ср (Е (/), со).
Предположим сначала, что ср (х, со) имеет вид
П
Ф {х, со) = Z Ф& М % И- (8)
k=i
Тогда, так как %(«>) не зависит от то
М? Z Ф& (Е (0) Фь И = Z М^Фй (Е (0) Мф* (со) = М Z ?Фй (Е (0) («в),
