Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 178

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 172 173 174 175 176 177 < 178 > 179 180 181 182 183 184 .. 214 >> Следующая


<^(s)U.(s)-?2(s)I<27C^

то существуют математические ожидания от квадратов интегралов в правой части предыдущего равенства. Применяя неравенство (a + b)2 ^ 2а2 -j- 2Ь2, неравенство Коши и свойство II* предыдущего параграфа, приходим к неравенству

мхлг(0Ы0-ё2(0]2<

< 2М^ I %N is) [a is, h (s)) — a is, g2 (s))] ds J +

P{ sup I |i it) — ?2 (t) 1 > 0} = 0.

+ \ %N (s) [or (s, h (s)) — a is, l2 (s))] dw (s)

Так как

+ 2М"/лг it) N is) [a (s, g, (s)) — a (s, l2 (s))] dw (s) ) <

*0

t

<2{T-t0) J M%N is) [a is, I, (s)) — a is, l2 (s))]2 ds +

t

+ 2 jj Mxjv (s) [a is, h (s)) — 0 (s, l2 (s))]2 ds.
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИИ

471

Учитывая условие а), убеждаемся в существовании такой постоянной L, что

t

M%N (t) lh (t) -12 (OJ2 < L 5 M%N (s) [g, (s) - |2 (s)]2 ds. (3)

*0

Воспользуемся теперь одним вспомогательным предложением, которое окажется полезным для многих оценок.

Лемма 1. Пусть неотрицательная интегрируемая функция a(t), определенная при t^[to, Т], удовлетворяет неравенству

t

a{tXH\a(s)ds + $(t), (4)

и

где Н — некоторая неотрицательная постоянная, а р(0— интегрируемая функция. Тогда

а (/) < р (/) + Н J {s) ds.

Доказательство. Из (4) вытекает

а(0<Р(0 + Я $[p(s)+ Я $<Ф0 dsx

ds

<т+н

P (s2) + H ^ <x (s3) ds31 ds2l ds{ <

t s,

<P(0 + //$P(si)ds + tf2$ J p(s2)ds2dsi+ ...

t Sl sn-1

... +Hn\ J ... 5 P(S„)dSl ... dsn +

U tt)

I n

+ Hn+l J ... J a(sli+ j)dst ...dsn+1.

Так как

ta tg

t

t S1 sn t

jj j • • • 5adsi • • • =S»i+i)-adsn+b

ti ta to tо

TO

t *n

lim Hn+] i ... ( a (sn+1) dsx ... dsn+l = 0

n -> ao J у
472

ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. VIII

и, значит,

a(t)^{t) +H\$(s)ds +Н2\ J'p(s2)ds2ds,+ ... =

to tо to

=р(о+я(|;я‘^4^р(5)^. ¦

<0 fe=0

Полагая a (0 — Мх^ (0 [&i (0 ~ E2 (012> P(0—0» получим из (3)

MxN (0 [Si (0 — ?2 (*)]2 = О,

т. е.

р (I, (/) Ф ?2 (0) < Р (sup 11, (s)! > N} + Р {sup [ |2 (s) | > N).

S &

Вероятности справа стремятся к нулю ввиду непрерывности (а значит, и ограниченности) с вероятностью 1 процессов ?i(0 и МО- Значит, МО и МО стохастически эквивалентны. А так как оба процесса с вероятностью 1 непрерывны, то P{sup |g, (0—МО | > 0} = 0. Единственность решения уравнения (2) доказана.

Докажем теперь существование решения уравнения (2) Предположим сначала, что М||(4) |2 < 00• Рассмотрим банахово пространство измеримых случайных функций t,(t), при каждом t измеримых относительно 0-алгебры и удовлетворяющих соотношению sup М|?(/)|2<°о с нормой

ш=( sup miе(оs2),/2.



Определим в пространстве оператор S по формуле t t Si (t) = l (t0) 4- ^ a (s, ? (5)) ds + ^ Cf (s, i (s)) dw (s).

to t0

Существование обоих интегралов вытекает из соотношения

| a (s, i (s)) I2 + I a(s,i (s)) I2 < K2 (1 + I ? (s) |2).

Очевидно, что S^(t) измеримо относительно Si-Воспользовавшись неравенством (а + b + с)3 ^ 3 (а2 + Ъ2 + с2) и условием б) теоремы, получим

м | Si (t) 12 < зм! 1 (t0) 12 +

t t

+ 3tr-/0)M$^l+l?(s)!2)^ + 3$Mtf2(l+|?(s)|2)rfs<

tq tn

<3M|g(/0)|2+ [3(r-/0)27(2 + 3(7-g + ^2](l + Ш!2)-
§ 2] СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИИ 473

Таким образом, оператор S преобразует it) в 9). Далее, имеем М |5gj (O-SS2 (01'<

t

<2 (Т — t0) М [a (s, ?1 (s)) — a (s, ?2 (s))]2 ds + u

+ 2M^ [a(s, (s)) — a(s, ?2 (-s))] dw (s)^ <

t

M1 g!(s) — 52(s) fds^Lit-mii-Ш,
Предыдущая << 1 .. 172 173 174 175 176 177 < 178 > 179 180 181 182 183 184 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed