Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
<^(s)U.(s)-?2(s)I<27C^
то существуют математические ожидания от квадратов интегралов в правой части предыдущего равенства. Применяя неравенство (a + b)2 ^ 2а2 -j- 2Ь2, неравенство Коши и свойство II* предыдущего параграфа, приходим к неравенству
мхлг(0Ы0-ё2(0]2<
< 2М^ I %N is) [a is, h (s)) — a is, g2 (s))] ds J +
P{ sup I |i it) — ?2 (t) 1 > 0} = 0.
+ \ %N (s) [or (s, h (s)) — a is, l2 (s))] dw (s)
Так как
+ 2М"/лг it) N is) [a (s, g, (s)) — a (s, l2 (s))] dw (s) ) <
*0
t
<2{T-t0) J M%N is) [a is, I, (s)) — a is, l2 (s))]2 ds +
t
+ 2 jj Mxjv (s) [a is, h (s)) — 0 (s, l2 (s))]2 ds.
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИИ
471
Учитывая условие а), убеждаемся в существовании такой постоянной L, что
t
M%N (t) lh (t) -12 (OJ2 < L 5 M%N (s) [g, (s) - |2 (s)]2 ds. (3)
*0
Воспользуемся теперь одним вспомогательным предложением, которое окажется полезным для многих оценок.
Лемма 1. Пусть неотрицательная интегрируемая функция a(t), определенная при t^[to, Т], удовлетворяет неравенству
t
a{tXH\a(s)ds + $(t), (4)
и
где Н — некоторая неотрицательная постоянная, а р(0— интегрируемая функция. Тогда
а (/) < р (/) + Н J {s) ds.
Доказательство. Из (4) вытекает
а(0<Р(0 + Я $[p(s)+ Я $<Ф0 dsx
ds
<т+н
P (s2) + H ^ <x (s3) ds31 ds2l ds{ <
t s,
<P(0 + //$P(si)ds + tf2$ J p(s2)ds2dsi+ ...
t Sl sn-1
... +Hn\ J ... 5 P(S„)dSl ... dsn +
U tt)
I n
+ Hn+l J ... J a(sli+ j)dst ...dsn+1.
Так как
ta tg
t
t S1 sn t
jj j • • • 5adsi • • • =S»i+i)-adsn+b
ti ta to tо
TO
t *n
lim Hn+] i ... ( a (sn+1) dsx ... dsn+l = 0
n -> ao J у
472
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VIII
и, значит,
a(t)^{t) +H\$(s)ds +Н2\ J'p(s2)ds2ds,+ ... =
to tо to
=р(о+я(|;я‘^4^р(5)^. ¦
<0 fe=0
Полагая a (0 — Мх^ (0 [&i (0 ~ E2 (012> P(0—0» получим из (3)
MxN (0 [Si (0 — ?2 (*)]2 = О,
т. е.
р (I, (/) Ф ?2 (0) < Р (sup 11, (s)! > N} + Р {sup [ |2 (s) | > N).
S &
Вероятности справа стремятся к нулю ввиду непрерывности (а значит, и ограниченности) с вероятностью 1 процессов ?i(0 и МО- Значит, МО и МО стохастически эквивалентны. А так как оба процесса с вероятностью 1 непрерывны, то P{sup |g, (0—МО | > 0} = 0. Единственность решения уравнения (2) доказана.
Докажем теперь существование решения уравнения (2) Предположим сначала, что М||(4) |2 < 00• Рассмотрим банахово пространство измеримых случайных функций t,(t), при каждом t измеримых относительно 0-алгебры и удовлетворяющих соотношению sup М|?(/)|2<°о с нормой
ш=( sup miе(оs2),/2.
<г
Определим в пространстве оператор S по формуле t t Si (t) = l (t0) 4- ^ a (s, ? (5)) ds + ^ Cf (s, i (s)) dw (s).
to t0
Существование обоих интегралов вытекает из соотношения
| a (s, i (s)) I2 + I a(s,i (s)) I2 < K2 (1 + I ? (s) |2).
Очевидно, что S^(t) измеримо относительно Si-Воспользовавшись неравенством (а + b + с)3 ^ 3 (а2 + Ъ2 + с2) и условием б) теоремы, получим
м | Si (t) 12 < зм! 1 (t0) 12 +
t t
+ 3tr-/0)M$^l+l?(s)!2)^ + 3$Mtf2(l+|?(s)|2)rfs<
tq tn
<3M|g(/0)|2+ [3(r-/0)27(2 + 3(7-g + ^2](l + Ш!2)-
§ 2] СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИИ 473
Таким образом, оператор S преобразует it) в 9). Далее, имеем М |5gj (O-SS2 (01'<
t
<2 (Т — t0) М [a (s, ?1 (s)) — a (s, ?2 (s))]2 ds + u
+ 2M^ [a(s, (s)) — a(s, ?2 (-s))] dw (s)^ <
t
M1 g!(s) — 52(s) fds^Lit-mii-Ш,