Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
t аеМ Wa 2 2в(А,/)_« А-1 /-1 1
к I
Умножая обе части последнего равенства на ... sbnn и просуммировав по всем р, приходим к следующим соотношениям:
Fiit + r, а) —
= Е pm a (О Е Е П П Рт ,<*, /»W <(*' й...
«ел w 0ем 2 2 в<*. /)-е ft-w-i {ft)e 1
ft /
= Е pm a (/) П П ( E P[k) .(*. Л (t) " • • . ’!)) -
aeM 11 A-l /=1 Vj3(*. /)eM W3 1 n J
asAf A—1
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ
447
откуда следует
Ft{t + т, а) = Ft{t, F\ (т, ст)..^„(т, ст)), / = 1.....s,
или
Ф(/ + Т,(Г) = Ф(/,Ф(Г,4 (33)
Теорема 6. Система производящих функций ветвящегося процесса удовлетворяет системе функциональных уравнений (33) и начальному условию (32)
Выведем для производящих функций дифференциальные уравнения, соответствующие первой и второй системе уравнений Колмогорова для переходных вероятностей.
Пусть
limMi<fL_4 о,*,;)>, lim '-РммГС
<|0 Р
и предположим, что
Ьц = ? ^(В< 00- 1> п-
беМ, ВчЫ<)
Тогда вероятности перехода /?шв(0 удовлетворяют первой системе уравнений Колмогорова (см. §3, (1))
? biaPafiV)-
аеЛ1, ачЬ{«}
Умножая это уравнение на s*', суммируя по всем р
и замечая, что из равенства (1) следует
I ра s (0 ,(*,*)]“'
В<=Л1 р г-1
(последнее выражает собою взаимную независимость эволюции имеющихся в данный момент времени частиц), получим
—^ = - bilFl (t, о)+ Y, ^ « П [/?<(*’ 0,И“1'
агМ, {г} г-1
или
-] - «г (Л (/, а), Fn{t, ст)), / - 1.....п, (34)
где
«< («1» •¦•.*„) = - _ йг <Х‘ • • • <35)
а@М, а>{1}
/ = 1....../г.
Функции Ui(s\, ..., s„) представляют собою производящие функции систем величин {—Ьц, bia, а е Af,
448
СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VII
Чтобы получить второе уравнение, предположим, что |s,-|< 1 (г == 1, ..., п). Тогда \Fi(t, ст) | < 1 (t = 1, ..., п) и мы можем дифференцировать равенство (33) по т. Положив после дифференцирования т = 0, получим
Уравнение (36) представляет собою систему одинаковых уравнений для производящих функций Fi(t,o):
которые нужно решать при начальных условиях (31). Таким образом, получена следующая
Теорема 7. Система производящих функций Fi(t,a) при |sf| < 1, i = 1, ..., п удовлетворяет системе обыкновенных дифференциальных уравнений (34), уравнению в частных производных (36) и начальным условиям (31).
П
(36)
п
П
ГЛАВА VIII
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
В этой главе рассматриваются непрерывные марковские процессы со значениями в т-мерном евклидовом пространстве Ят. Полностью такие процессы до сих пор не описаны. Мы будем изучать важнейший класс таких процессов, носящий название диффузионных. Это название указывает, что процессы подобного типа могут служить вероятностной моделью физического явления диффузии. В § 3 гл. VI уже рассматривался процесс броуновского движения в качестве вероятностной модели диффузии в однородной среде. Используя подобное построение в случае неоднородной среды, можем прийти к понятию общего диффузионного процесса. Поясним основные идеи на примере одномерного процесса.
Пусть Xt обозначает координату взвешенной в жидкости достаточно малой частицы в момент времени t.
Пренебрегая инерцией частицы, можно считать, что перемещение частицы состоит из двух компонент: «усредненного» смещения, вызываемого макроскопической скоростью движения жидкости, и флуктуации смещения, вызываемого хаотическим характером теплового движения молекул жидкости.
Пусть скорость макроскопического движения жидкости в точке л: в момент времени t равна a(t,x). Относительно флуктуа-ционной составляющей перемещения будем предполагать, что она является случайной величиной, распределение которой зависит от положения х частицы, момента времени t, в который рассматривается перемещение, и величины At— длины промежутка времени, на котором рассматривается перемещение, причем среднее значение этого перемещения будем считать равным нулю независимо от того, какие значения принимают t, xt, At. Тогда перемещение частицы может быть приближенно записано следующим образом:
Xt + At Xt а Xt) ^ Хр А О
(1)
450
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
1ГЛ VII!
причем х д* = 0.Если a(t,x) равно нулю, а распределение It, xt. At не зависит от х, как предполагалось при рассмотрении броуновского движения (§ 3 гл. VI), то тогда At = hkt. Так как при небольших изменениях t, х свойства среды естественно предполагать мало меняющимися, то в малом процесс является однородным; поэтому можно считать, что It, Хр At = о (t, X)%t, At, где o(t, х) характеризует свойства среды в точке х в момент времени t, a It, &t — величина приращения, которая получилась бы в однородном случае при условии, что o(t,x) — 1. Таким образом, 11, At должно равняться приращению процесса броуновского движения: w(t-\- At)— последовательно, для приращения Xt+At — xt можно записать такую приближенную формулу:
