Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
4 + 1
1] СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ ИТО 433
Положим qN(t) = cp(t) При для тех /, для которых
4* 1
i I ср (t) I2 dt ^ N; если же при некотором k *
\\q>(t)\2dt^N < J I Ф (t) |2 dt,
a a
то при t^[tki b] фдг(/) = 0. Очевидно,
t
$|qp*(012 dt^N
P {sup I фл, (t) — Ф (/) 1 > 0} = P < \ 1 Ф (/) I2 dt > N
Поэтому p( \(f(t)dw{t)
> с
}¦
( b h
= P j $ фдг (/) dw (t) + ^ (ф (/) — фд, (/)) dw (t)
'-л n
> С j <
f|S
^ a
<Pi \<P N{t)dw(t)
> с
M
Hi
и
^ Фдг (t) dw (/)
[ф (t) — фдг (/)] dw {t) > 0 > <
+ P< \\<p(t)\2dt>N
что и требовалось доказать.
Пусть последовательность ступенчатых функций [п такова,
что
ь
\U(t)-fAt)?dt~> 0
по вероятности. Тогда ^\fn(t) — fm(t)\2dt также стремится
а
к нулю по вероятности при я-> оо, т->°о. Следовательно, для
454
всякого е > О
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VIII
lim Р
nt m->oo
> а
(t) “ fm (t)\2dt>e> — 0
Используя свойство III, можем записать при любых е > О,
б > О
ъ ь
lim Р
п, т->сс
^ fn(t) dw (t) — ^ fm(t) dw (t)
>
)
так что ввиду произвольности е > О для всякого б > О
f Ь Ь 2 -v
lim Р I \fn (t) dw (t) — \ fn (t) dw (t) > 6 \ = 0.
nf m-±°о I J ^ I
v a a '
Из последнего равенства вытекает, что последовательность слу-
ъ
чайных величин \^fn(t)dw{t) сходится по вероятности к неко-
а
торому пределу. Этот предел не зависит от выбора последова-
ъ
тельности fn (t), для которой ^ | fn{t) — f (t) |2 dt -> 0 (если имеют-
а
ся две последовательности fn(t) и fn(t), то, объединяя их в одну, убеждаемся в равенстве с вероятностью 1 пределов на разных последовательностях). Положим
и и
^ f (t) dw (t) = P-lim ^ fn (t) dw (t).
Этот предел будем называть стохастическим интегралом И то функции f(t).
Поскольку для всех /е2ГС2[а, 6] можно построить такую последовательность ступенчатых функций /„ из 5Ш2[а, Ь], чтобы с вероятностью 1
Hm \[fAt)~f(t)]2dt = 0,
П-±оо J
то тем самым стохастический интеграл Ито определен для всех f <= ЭД2 [а. Ь].
§ 1] СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ ИТО 455
Так определенный интеграл является однородным и аддитивным функционалом от функции f(t) на 2Щ[а,Ь\. Кроме того, при а < с < Ь
ebb
jj f (0 dw (0 + f (0 dw (t)=\f (0 dw (t). (4)
аса
Доказательство этих свойств очевидно для ступенчатых функций и тривиальным предельным переходом переносится на общий случай.
Используя предельный переход в (3) от ступенчатых функций к произвольным функциям из [а, Н убеждаемся, что свойство III справедливо для всех /(<) ^ ЗЛг [а, Ь].
С помощью этого свойства легко установить, что имеет место
IV. Если f (t) е Шг2 [a, b], fn(t)^Tl2[a, Ь] и ь
\\fn(t)-f(t)\2dt-+0
а
по вероятности, то
ь ь
P-lim jj fn (0 dw = (0 dw (/).
a a
Используя предельный переход, можем легко убедиться в справедливости следующего свойства, обобщающего свойства I и II.
II*. Если функция f такова, что с вероятностью 1
ь
5 М (| f (0 |2|$e) dt<oo,
а
ТО
М ^ f (0 dw (0 ] 3'^ = 0 (mod Р), (5)
/ Гь I2 \ ь
( [j{t)dw{t) |SflJ= jj M(|f (0l2ISJrf< (mod P). (6)
' л J / n
' г b
M '
Рассмотрим теперь стохастический интеграл как функцию верхнего предела. Обозначим через \MS) функцию, равную 1 при s < t и равную 0 при s > t. Если f (s) ^ ЗЭТд [a, 6J, то fLs)tyt(s)^ ШЫа, Ь] при любом t^[a,b] и
t ь
jj f (s) dw (s)=^f (s) (s) dw {s).
456
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VIII
Из определения стохастического интеграла вытекает, что он определен с точностью до событий вероятности 0. Поэтому интеграл как функция верхнего предела определен с точностью до стохастической эквивалентности (см. § 1 гл. IV). В дальнейшем мы всюду будем предполагать, что значения интеграла как функции верхнего предела при различных t согласованы таким
