Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 172

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 166 167 168 169 170 171 < 172 > 173 174 175 176 177 178 .. 214 >> Следующая

4 + 1

1] СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ ИТО 433

Положим qN(t) = cp(t) При для тех /, для которых

4* 1

i I ср (t) I2 dt ^ N; если же при некотором k *

\\q>(t)\2dt^N < J I Ф (t) |2 dt,

a a

то при t^[tki b] фдг(/) = 0. Очевидно,

t

$|qp*(012 dt^N

P {sup I фл, (t) — Ф (/) 1 > 0} = P < \ 1 Ф (/) I2 dt > N

Поэтому p( \(f(t)dw{t)

> с



( b h

= P j $ фдг (/) dw (t) + ^ (ф (/) — фд, (/)) dw (t)

'-л n

> С j <

f|S

^ a

<Pi \<P N{t)dw(t)

> с

M

Hi

и

^ Фдг (t) dw (/)

[ф (t) — фдг (/)] dw {t) > 0 > <

+ P< \\<p(t)\2dt>N

что и требовалось доказать.

Пусть последовательность ступенчатых функций [п такова,

что

ь

\U(t)-fAt)?dt~> 0

по вероятности. Тогда ^\fn(t) — fm(t)\2dt также стремится

а

к нулю по вероятности при я-> оо, т->°о. Следовательно, для
454

всякого е > О

ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. VIII

lim Р

nt m->oo

> а

(t) “ fm (t)\2dt>e> — 0

Используя свойство III, можем записать при любых е > О,

б > О

ъ ь

lim Р

п, т->сс

^ fn(t) dw (t) — ^ fm(t) dw (t)

>

)

так что ввиду произвольности е > О для всякого б > О

f Ь Ь 2 -v

lim Р I \fn (t) dw (t) — \ fn (t) dw (t) > 6 \ = 0.

nf m-±°о I J ^ I

v a a '

Из последнего равенства вытекает, что последовательность слу-

ъ

чайных величин \^fn(t)dw{t) сходится по вероятности к неко-

а

торому пределу. Этот предел не зависит от выбора последова-

ъ

тельности fn (t), для которой ^ | fn{t) — f (t) |2 dt -> 0 (если имеют-

а

ся две последовательности fn(t) и fn(t), то, объединяя их в одну, убеждаемся в равенстве с вероятностью 1 пределов на разных последовательностях). Положим

и и

^ f (t) dw (t) = P-lim ^ fn (t) dw (t).

Этот предел будем называть стохастическим интегралом И то функции f(t).

Поскольку для всех /е2ГС2[а, 6] можно построить такую последовательность ступенчатых функций /„ из 5Ш2[а, Ь], чтобы с вероятностью 1

Hm \[fAt)~f(t)]2dt = 0,

П-±оо J

то тем самым стохастический интеграл Ито определен для всех f <= ЭД2 [а. Ь].
§ 1] СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ ИТО 455

Так определенный интеграл является однородным и аддитивным функционалом от функции f(t) на 2Щ[а,Ь\. Кроме того, при а < с < Ь

ebb

jj f (0 dw (0 + f (0 dw (t)=\f (0 dw (t). (4)

аса

Доказательство этих свойств очевидно для ступенчатых функций и тривиальным предельным переходом переносится на общий случай.

Используя предельный переход в (3) от ступенчатых функций к произвольным функциям из [а, Н убеждаемся, что свойство III справедливо для всех /(<) ^ ЗЛг [а, Ь].

С помощью этого свойства легко установить, что имеет место

IV. Если f (t) е Шг2 [a, b], fn(t)^Tl2[a, Ь] и ь

\\fn(t)-f(t)\2dt-+0

а

по вероятности, то

ь ь

P-lim jj fn (0 dw = (0 dw (/).

a a

Используя предельный переход, можем легко убедиться в справедливости следующего свойства, обобщающего свойства I и II.

II*. Если функция f такова, что с вероятностью 1

ь

5 М (| f (0 |2|$e) dt<oo,

а

ТО

М ^ f (0 dw (0 ] 3'^ = 0 (mod Р), (5)

/ Гь I2 \ ь

( [j{t)dw{t) |SflJ= jj M(|f (0l2ISJrf< (mod P). (6)

' л J / n

' г b

M '

Рассмотрим теперь стохастический интеграл как функцию верхнего предела. Обозначим через \MS) функцию, равную 1 при s < t и равную 0 при s > t. Если f (s) ^ ЗЭТд [a, 6J, то fLs)tyt(s)^ ШЫа, Ь] при любом t^[a,b] и

t ь

jj f (s) dw (s)=^f (s) (s) dw {s).
456

ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. VIII

Из определения стохастического интеграла вытекает, что он определен с точностью до событий вероятности 0. Поэтому интеграл как функция верхнего предела определен с точностью до стохастической эквивалентности (см. § 1 гл. IV). В дальнейшем мы всюду будем предполагать, что значения интеграла как функции верхнего предела при различных t согласованы таким
Предыдущая << 1 .. 166 167 168 169 170 171 < 172 > 173 174 175 176 177 178 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed