Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
444
СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VII
ИЛИ
1 _ / /) g{k, t)= 1-----^-’- • (27)
Рассмотрим случай т.\ — 0.
Теорема 4. Если mi = 0 и т2 ¦< с», то
<*ИО>о}-1-г-'. (28!
Доказательство. Полагая
4>(z, 0 = 1 — f(«, о,
получим из уравнения (4)
= —ц(1 — а|з) = — 4r [и"(1) + е(0], 'фСг, 0) = 1 — z.
Так как при т\ — 0 процесс является вырождающимся, имеем
rj;(z, t)~> 0 при t~* оо равномерно в области \г\ ^ 1. Отсюда сле-
дует, что е(0->0 при t -> оо также равномерно относительно г, |z|^ f. Интегрируя последнее уравнение, получим
-ф (г, /)
откуда
lim--------^--------------
т2* +
о
- II;m I -Щг- + ¦sV?l + ч»j«w *} = - ж + 1
°° j _ е т* (<) 0
и, следовательно,
g(A,) = lim g(A, 0 =
? -» ОО
¦а
Функция g(K) является характеристической функцией распределения F(х) = 1 — е~х при х > 0, F(#) = 0 при х < 0. И
В случае т,\ > 0 величина q(t) стремится к пределу 1 — а ф Ф 0. Поэтому нормировка с помощью функции g(i) или переход к условным математическим ожиданиям при гипотезе v(^)>0 не может играть существенной роли. Докажем следующую теорему.
Теорема 5. Если т{ > 0, m2<L°o, то величина v(0e~m,< при t-> оо сходится в смысле среднего квадратического к случайной величине г\ = 1Л.т.у{{)е~т'{, характеристическая функ-
§ 5] ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ 445
ция g(k) которой удовлетворяет функциональному уравнению
/ ё W N
(1 — g(A,))exp| — \ dv\ = - Гк. (29)
Для доказательства сходимости величины v (t) — v (t) e~m,t в смысле среднего квадратического воспользуемся критерием Коши. Пусть t < ?. Тогда
М (v (0 - v (t')f = Mv [tf + Mv (i'f - 2M (v (t) v (0).
В силу формул (16) и (19)
Mv{t)2 ~ m2/ml при t —> оо.
Используя определение ветвящегося процесса и его однородность, получим
М (v (г) v (t')) = Mv (t) М {v (t') I v (/)} = Mv2 (t) Mv (t' — /)
откуда следует в силу тех же формул (16) и (19)
М (v (0 v (/')) ~ m2/m].
Таким образом, М (v U) — v (О)2 О ПРИ t, t'^-oo и существует предел г) = l.i.m. v (t). Записывая уравнение (4) в виде
t ->0О
df _____ u(f)-m, (f- 1) df = midt
f- 1 u(f)(f- 1)
и интегрируя его no t от 0 до t, получим
In
~ f) ~ S “ (u(v) P- 1Г1 dV = mit + ln (I ~ 2)-
a
Полагая здесь z — em*(t) и устремив t к oo, придем к равенству
In (1 g) f ~' dv = ln
0
откуда следует (29). у
Теория ветвящихся процессов с частицами нескольких типов аналогична, но более сложна. Остановимся только на основных соотношениях этой теории. Как и в случае частиц одного типа, удобно воспользоваться методом производящих функций.
Пусть М — множество возможных состояний процесса, т. е. совокупность всех векторов а = (as, с?;, ..., а„) с неотрицательными целочисленными компонентами (условимся обозначать
446 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
л-мерные векторы греческими буквами а, р, ст, ..., а их компоненты— соответствующими латинскими буквами). Определим производящие функции Fi(t,o) — Fi(t, sb s2, •••. sn) вероятностей перехода p{о, в (О соотношениями
Fi(t, = Sj...............sn)= ? p (t) s\'sb2> ... sbn* (30)
p€2M
(o = {su s2, ..., s„}, P = {fei, b2, bn}).
Напомним, что {i} обозначает вектор {i} = {6ц, 6i2. •••, Sin}. Функции Fi(t,a) являются аналитическими функциями переменных Si, S2.....s„ в области |s,]<l (i = 1, ..., п), причем
\Fi{t, ст)|<1 при |Sil<l,
Ft(t, 1......1) = 1, Fi(0,o) = si. (31)
Если ввести n-мерную векторную функцию
Ф(*. a) = {Fl(t, ст), ..., Fn{t, о)}, то из (31) следует
ф (О, ст) = ст. (32)
Найдем теперь эквивалент формулы Колмогорова — Чепмена
для ветвящихся процессов, выраженный через производящие
функции. Имеем
/»{/> в (* + т) = Е„(*)/>„ в СО, ^>0, т>0.
а еМ
Заменяя здесь ра(з(т) по формуле (1), получим ' -
п ai
Рт з (* + Т) = Е Рт а (0 Е П П Рт в(*, /) (т).
