Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
k = \ k~ I k—\
M ( Z Ф* (E (0) % M I E (*)) = Z Ф* (E (0) (со).
\k=i / &=i
Таким образом, (7) установлено для того случая, когда
4>(х, со) имеет вид (8). Более того, мы установили, что в этом
476
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VII!
случае
М (Mg (*))!&) = *(!(/)),
(9)
где g (л;) = ММ?*. *(«))•
Очевидным предельным переходом (7) и (9) распространяются на все функции <p(x, со). Следовательно,
Р{ШеЛ|ЗЛ = Р,|(,,(5, А),
где P/lJe(s, Л) = Р {It, х (s) <= А}. Я
Покажем, что при некоторых дополнительных предположениях процесс l(t) будет диффузионным процессом с коэффициентом диффузии o2(t,x) и коэффициентом переноса a(t,x). Для этого установим предварительно одно вспомогательное предложение.
Лемма 2. Пусть t,t,x(s) — решение уравнения (6), коэффициенты которого a(t,x) и o(t,x) удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда существует такая постоянная Н, что
M\h. As)-x\4^H(s-tf(l+x4). Доказательство. Пусть xw(s)=l ПРИ SUP I It, x (u) ~ x I ^ N и %n(s) = 0 в противном случае. Тогда (lt,x(s)-x)%N (s) =
S S T
5 %N («)a («, It. X (и)) du + ^ %N (и) a (u, It, x (u)) dw (u) .
t t J
Используя неравенство (a + b)4 ^ 8a4 + 8b4, неравенство Коши и свойство VII § 1, получаем
- S “»4
м (h, X (s) — х)4 %N (s)< 8М jj %N {и) а (и, Ъ, х (и)) du +
- t
" S
+ 8М ^ %N (и)а (и, It, х («)) dw (и)
- t
S
<8 (s — /)3 jj M%N (и) [а (и, It, х (и))]4 du +
t
S
+ 8 ¦ 36 (s — t) ^ M%n («) [o' («, It, x (“))]4 du <
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИИ
477
+ 64 (s — tf Мхд, (и) [а (и, It, х (и)) — а (и, x)f du + t
5
+ 64 * 36 (s — t) ^ ct4 (и, л:) du +
t
s
+ 64 • 36 (s — t) ^ М%л (и) [ct (u, x (u)) — cr (u, .v)]4 du ^ t
s
< L (s - t) J Mx,v (и) I ti, x (ti) -x'fdu + R(s- tf, t
где L зависит лишь от К, a R = Нх (1 + я4), где Я] зависит лишь от К. Значит, если
a(s) = М \lt,x(s) — xf%N (s),
то
S
а (s) < L (s — t) ^ а (и) du + R(s — tf.
t
При t ^ s ^ t + 1
S
a (s) ^ a (и) du + R (s — tf.
t
Значит, в силу леммы 1
S
a (s)^.R (s — tf + L ^ eL (s — uf du.
t
Поэтому при t ^ s < t + 1 можно указать такое Я, что
a(s)^H(l+xi)(s-tf,
Ml lt,x (s) — x |4xiV (s) < Я (1 + x4) (s - tf.
Переходя к пределу при N-+ со, получим доказательство леммы. В
Следствие 1. Пусть l(t) — решение уравнения (2) и a(t,x) и o(t,x) удовлетворяют условиям теоремы 1, а М|Е(/о)|4< °°-Тогда
sup М | ? (t) |4 < со.
Действительно, из леммы 2 вытекает
М (| I (t) - I (t0) I411 (to)) < Я (T - t0f( 1 + | % (to) I4),
M|S(0l4<8M|S(g I4 + 8MM (| l(t) — E (t0) I4 IE (4)).
478 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIII
Следствие 2. В условиях предыдущего следствия существует такая постоянная Яь что
M|SW-E(s)l4<//,(s-02.
Действительно, при t < s
M|S(s)-S(OI4<//(s-02(M ISWI4+ 1).
Теорема 3. Если выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, a(t,x) и a(t,x) непрерывны по t при t^.[tQ,T], то тогда o2(t,x) и a(t,x) будут соответственно коэффициентами диффузии и переноса для процесса b,(t), являющегося решением уравнения (2).
Доказательство. Так как переходная вероятность Р(^, х, s,/l) для процесса l(t) на основании теоремы 2 совпадает с распределением величины h,x{s), то, как вытекает из леммы 2,
\{у — х)4 Р {t, х, s, dy) = М| %ti x (s) — x |4 = о (s — t).
Используя замечание к теореме 6 § 4 гл. I, убеждаемся, что для доказательства теоремы достаточно показать, что выполняются соотношения
J {у — х) Р (t, х, s, dy) = Щи х (s)—x = a(t, х) (s—t) + о (s—t) (10)
\ (У — xf Р (I, х, s, dy) = М (It, х (s) — xf =
= a2{t, x)(s — t) + o(s — t). '(11)
Доказательства этих формул проводятся аналогичным образом. Докажем, например, (11). Из (6) вытекает
