Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):


xt+At — xtа xt) + о (t, xt) [ay (t -f At) — w (0]. (2)
Чтобы эта формула стала точной, нужно, как это всегда делается в математическом анализе, приращения заменить дифференциалами. После такой замены для Xt получится дифференциальное уравнение
dxt = a (t, Xi) dt-\- о (t, xt) dw {t), (3)
которое и можно принять за исходный пункт при определении диффузионного процесса.
Если xt — многомерный процесс, принимающий значения из 5?™, то соотношение (1) сохраняет смысл, если a(t,xt) является функцией со значениями из $2m, a \t, х At — случайным вектором в 31т. В этом случае будем считать, что х дt представляется в виде
т
It, Xf, At = ьк (t, Xi) к (t + At) — wk (t)],
где bk(t,xt) — некоторые функции со значениями из 5?т, а Wt, (t) — независимые одномерные процессы броуновского движения. Такое представление соответствует иеизотропной среде: перемещения по разным направлениям имеют, вообще говоря, различные распределения. Уравнение для величины Xt в этом случае имеет вид
т
dxt — а (t, xt) dt + X bk (t, Xt) dwk (t). (4)
k=i
Отметим, что уравнениям (3) и (4) пока нельзя придать
п W (t + bd) — О) (t)
строгого смысла. Дело в том, что величина -------------------------,
если w(t)—процесс броуновского движения, имеет нормальное
СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ ИТО
45]
распределение со средним 0 и дисперсией . Поэтому величи-
w (t + At) — w (t)
на ----------------- ни в каком вероятностном смысле предела
не имеет. Ввиду отсутствия производной у w(t) обычно применяемое определение дифференциала dw(t) не имеет смысла.
Уравнениям (3) и (4) будет придан строгий смысл после введения в § 1 понятий стохастического интеграла и стохастического дифференциала.
§ 1. Стохастический интеграл Ито
Пусть w(t)— винеровский процесс, а совокупность а-алгебр fit, определенных на основном вероятностном пространстве {Q, @, Р} для всех t ^ 0, связана с w(t) так, что выполняются следующие условия: 1) с: g/, с: <В при t\ < t2', 2) w(t) измерим относительно g* при каждом t; 3) процесс w(t-\-h)—w(h) при каждом h не зависит от любого из событий а-алгебры 8т,. Обозначим, далее, через Ш2[а, Ь] (0 ^ а ¦< Ь) совокупность измеримых по совокупности переменных (t, а) функций /(/)== = f(t, со), определенных при t^[a,b], о е Q и удовлетворяющих условиям: a) fit) измерима относительно а-алгебры при каждом t из [а, Ь]\ б) с вероятностью 1 конечен интеграл
Ь
5 I f (О I2 dt.
а
Для всех функций из Ш2[а, Ь] ниже определяется интеграл
ь
jj f(t) dw(t).
а
Функция f(t) называется ступенчатой, если существует такое
разбиение отрезка [a, b]: а — tQ < 11 < ... <tr = b, что f(t) =
~f{ti) при t&[ti,ti+1), i = 0.........r 1.
b
Определим интеграл ^ f(t)dw(t) сначала для того случая,
а
когда функция f (t) является ступенчатой. Пусть f(t) = f(ti) при t^[th ti+i), где a = t0< ti < ... <tr — b — некоторое разбие-
ние отрезка [а, b]. Положим тогда
Ь г-1
^ f {t) dw (t) = ]T f (4) [w (tk+1) — w (4)].
a k=0
Отметим некоторые свойства этого интеграла.
452 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIII
I. Если М (] / (О IJ да) < 00 при t е [а, Ь], то с вероятностью 1
М (j f(t)dw (01^ = 0. (1)
II. Если М (| / (О Р | да) < 00 с вероятностью 1 для t е [а, b], то
М
([5
> I— п
f (t) dw (t)
»¦)-{
da\=\M(f4ma)dt (mod P). (2)
Действительно,
M
ffi
f (0 dw (t)
S.
Г- 1
= ? M [f (4)2 («»(4+0 - w (4))2 | &,] +
+ 2 52 M [/ (*,) / (4) (w (t1+1) - w (tj)) (w (4+,) - © (4)) | Se] ‘
i<k
Г- 1
= 2 M ^ M О & + >) ~ ® 1 &*] I +
+ 2 5] м {/ (tj) f (4) [oy (*/+i) — w {tj)] x l<k X м (4+i) — 0У (4) 1 dtk) I Sa} =
r — 1 b
= У M (/2 (4) I da) [4+1 - 4] = \ м (P (01&,) dt.
ft-»0 а
III. .Если ф (/) — ступенчатая функция, то для всякого N > О и с > О
4 а
Ф (0 dw (t)
i
>c}<3- + Pl \|ф(0Р<Я>Я
I
(3)
Действительно, пусть ф(/) = ф(4) пРи 4*0<^+ь где а = = t0<tl< ... <tr = b. Так как q>(t) при t е [^, /г+1) измерима *1+х
относительно то ^ |ф(^)|2Л также является величиной,
а
измеримой относительно dtt-



