Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
м (6*. х is) - xf = М ^ J а (и, 1и х (и)) du + J а {и, ж (и)) dw (и)^ .
1ЛЬКу
s -|2 S
^ а (“» It, х («)) du J < (s — t) | Ма2 (и, х (и)) du = o(s — t),
(j <7 (И, It, X (и)) dw (и)^ = j M [а (и, It' x (и))}2 du <
<K2\M(l+\it'x(u)\2)du = 0(s-t),
Поскольку M
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
479
то
м (It, X (•*) — xf = М ^ j or (и, It, х (и)) dw (ы)^ + о (s — t) =
5
= ^ Мст2 (и, It,х (и))du + o(s — t). t
Воспользовавшись равенством
lim Мог2(и, %t,x(u))=a(t, х),
вытекающим из возможности перехода к пределу под знаком математического ожидания (в силу неравенства ст4(м, Ъ,х(и))^ ^/С4(1 +|?(, *(и)|2)2 и следствия 1 из теоремы 2) и непрерывности o(t,x), находим
^ М а2 (и, lt, х (и)) du —а2 (t, х) (s — t) -f- о (s — t), t
откуда и вытекает (11). @
Перейдем к построению многомерного диффузионного процесса l{t) с вектором переноса a(t,x) и оператором диффузии B(t,x). Положим
М*. *) = VM*. х) ek(t, х),
где eh(t,x) — собственные векторы, а А*(/, х) — соответствующие им собственные значения оператора B(t,x).
Процесс !(/) мы будем искать как решение уравнения
т
dl (0 = a(t,% (0) dt+Zbk(t,t (0) dwk (0, (12)
k— 1
где Wk(t), k—\, 2, ..., m, — независимые винеровские процессы.
Функции a(t,x) и bh(t,x) определены при / е [/0, Л. х^&1т и принимают значения из Ят. Уравнение (12) эквивалентно уравнению
t ш i
?(0 = 6(*о) + \ a(s, l(s))ds + ? J Ms, l(s))dwk(s). (13)
*0 to
Это уравнение решается при заданном |(/о), которое всюду в дальнейшем будет считаться величиной, не зависящей от процессов Wk(t).
Пусть %t — минимальная ст-алгебра, порожденная величинами |(/0) и wh(s)—Wh(to) при k=\, т\ se[/0, /]. Решением
480 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIII
(13) будем считать такой процесс \{t), для которого существуют интегралы в правой части (13) и при каждом t <= [to, Т] (13) выполняется с вероятностью 1.
Сформулируем в виде одной теоремы основные свойства решений уравнения (13).
Теорема 4. Пусть a(t,x), bi{t,x), ..., bm(t,x)—определенные при t е [t0, Т], х е 3lm борелевские функции, принимающие значения из Если существует такое К, что
m
I a {t, х) |2 + Zl bk (t, х) |2</(2(1 + |* |2),
?=1
m
\a(t, х) — a (t, у) | + Z I bk (t, x) — bk{t, y)\^K\x — y\
k=i
для всех x и у из $im, то уравнение (13) имеет единственное с точностью до стохастической эквивалентности с вероятностью 1 непрерывное решение l,(t). Это решение %(t)будет процессом Маркова, переходные вероятности которого Р(t,x,s,A) при t < s определяются соотношением
Р {t, х, s, А) = Р {It, х (s) е= А), где является решением уравнения
s ms
lt,x(s) = x+ J а (и, lt,x(u))du+ Y J M«> lt.x(u))dwk{u). (14)
t k=\ t
Если функции a(t,x) и bh(t,x) непрерывны no t, то процесс g(f) будет диффузионным процессом с вектором переноса a (t, х) и оператором диффузии B(t,x), удовлетворяющим соотношению
m
{B(t, x)z, z)= ? (bk{t, x), zf.
k=\
Доказательство всех этих фактов в принципе совершенно не отличается от доказательств для одномерных процессов, приведенных в теоремах 1, 2, 3.
Замечание 1. Если %t,x(s) является решением уравнения
(14), коэффициенты которого a{s,x) и bk{s,x) удовлетворяют условиям теоремы 4, то существует постоянная Н, для которой при s > t
M\h,x{s)-x\^H{s-t)2{l + \xf).
Это утверждение аналогично тому, которое доказано в лемме 2 для одномерного процесса.
§ 3]
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ
481
Замечание 2. Если коэффициенты а (I, х) и bk (t, х) уравнения (12) не зависят от t, т. е. уравнение имеет вид
и а (х), bh{x), k = I, ..., m, удовлетворяют условиям теоремы А, то решение l(t) уравнения будет однородным процессом Маркова, т. е. переходная вероятность P{t, х, t -f h, А) не зависит от t.
Действительно, Р(/, х, t-\-h, А) совпадает с распределением Zi,xOl)== h,x(t + h), но, как вытекает из теоремы 4, lt,x{h) будет решением уравнения
х (А) = а (?/,, (h)) dh+ ? bh (?,, * (A)) dh \wk (t + h) — wk (*)] k=l
с начальным условием Ц ж(0) = л:.
Так как совместное распределение [Wh{t-\-h)—Wh(t)], k — = 1,2, m, не зависит от t, то и распределение t,t,x{h) не будет зависеть от t.
§ 3. Дифференцируемость решений стохастических уравнений по начальным данным
