Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1] СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ ИТО 455
получим справа под знаком математического ожидания
п т Ъ
i = 1 /'= 1 а
что совпадает с выражением под знаком математического ожидания в правой части (19).
Получим теперь обобщение формулы Ито на функции от нескольких стохастических интегралов. Будем говорить, что процесс t,(t) имеет стохастический дифференциал на отрезке [а, Ь],
если существуют такие функции bh(t), k — \, ..., т, из Ш1?[а, b]
ь
и ^-измеримая функция a(t), для которой J | а (/) | dt < оо, что
а
для а ^ ti < t2 ^ Ь
t2 Ш t2
? (У — I tt\) = \ja{s)ds + Y \ bk («) dwk (s).
tx k = \ u
Положим тогда
m
dt,{f) = a{t)dt+ Y, bk{t)dwk{t).
k— 1
XIII. Пусть процессы •••> ?n(0 имеют стохастические
дифференциалы на [а, b]\
m
dt,k (t) — ak (t) dt -f ? bki tt) dw/ (t), k — l, ..., n, (20) а функция u{t, xu ..., xn) непрерывна и имеет непрерывные про-
dti dti 1 4 д tt • •___1 /71 -л
извООНЫб f fix 1 * ’ ' ’ дх rfx. J ^ " ' * * * > ToBuCl
функция г) (t) = u {t, ?i(0> • • -, Zntt)) также имеет стохастический дифференциал
dr1 (t) =
^ (t, S, (t), . . ., (/)) +Yj~ (t, h (t), (0) a* (0 +
A = 1 A
/г m “I
+ T E TxTdxl tt' Si (*)> • • • > Sm (0) Z ^bkitt) dt +
г b =— ! ^ /=( -*
1,6=1 * /
m / n
/=1 I
oa:
*
Доказательство. Предположим сначала, что функции аи и bki постоянны на отрезке [sb s2], а функция u(t,x 1, ..., хп) отлична от нуля лишь при | х | ^ N. Пусть Si = (0 < ... < tl = Sg.
466 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ (ГЛ. VIII
Тогда, используя формулу ^ (4+1> ^1) • • • I хп) U (t/i, tj\, •.., уп)
п
=*%(к,Уи • • •>«/„) l4+i — tk] + У.....Уп)\х/~ У]} +
/-1 1
П
+ 2" ^ дх-дх ’ У^ ^ — ^ ^ ~
I,/-1 ‘ 1
+ е j^(4+i — 4) + Е (*/ ~ У$j1
где е = е(4, 4+ь *rt, у\, ..у„) равномерно стремится
П
к нулю при 14+1 — 41+ ? 1*/~У/]2_>0, можем записать
/-1
П
Л (4+i)— л (4) = Р(4)Д4 + 5] ^к> ' • • ’ X
/=i 1 т п
X 5] ьи Awi (4) + | X д/ дх (4, Si (4).............Sn (4)) X
<-i t, /=1 г 1
X [д?г (4)2 А?/ (4) - Е M/r А4] + е[л^ -I- t AS, (4)*] , (22)
где
п
Р (0 = |г ^ • • • > Е»(0) + Z % V’ & • • •, Е» (0) а, +
/=1
л m
^"2 Е дх.дх, ......Sn(0) Е
г, /-1 1 ' г-1
A4 = 4+i —4. Ддаг(4) = ®,-(4+1) — ®«(4),
AS/(4) = ^(4+i)-S,(4).
Пусть тахД^->0. Тогда и шах | Дда(- (^) | -> 0, тах| Д?4 (4) | —> 0.
к k, i k, i
Поэтому
lim ЕеГд4+|]А?/(4)21->0
maxAf^->0 L 1 J
по вероятности, так как при некотором с
I—1 /—1 г т 1
? AS/(4)2<сЕ Д<1+1 Д®г(4)2
к-о a-о L г-i J
СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ ИТО
467
и правая часть ограничена по вероятности, поскольку
г-i
М X &и>г&)2<«2 —«1-&=*0
При этих предположениях относительно тахД^
k
I— 1 S2
mdt,
k=0 s,
l—ln m
Z Z ж; Si &). • • •. Е» too) Zb» Ы -*
